Sirkelsektor

En sirkelsektor er et stykke av en sirkelskive som ser ut som et pizzastykke eller et kakestykke. Du skjærer den ut med to snitt som går fra sentrum helt ut til kanten. Sektoren avgrenses dermed av to radier og et stykke av sirkelen mellom dem.

Med rødt er selve sektoren farget, og det er arealet av den vi skal regne ut. De svarte linjestykkene er de to radiene r, altså de to knivsnittene. Med oransje er vinkelen α markert, den som radiene danner. Den kalles sentralvinkel, fordi toppunktet ligger i sentrum av sirkelen. Med blått er buen l markert, altså stykket av sirkelen som avgrenser sektoren utover – på en pizza er det kanten.

Formler for sektoren

Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut arealet A av en sirkelsektor med radius r og sentralvinkel α i grader slik:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Lengden l av buen til den samme sektoren regner du ut slik:

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

For eksempel har en sektor med radius r = 6 og sentralvinkel α = 60° arealet

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

og buen er

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Hvis du ikke liker et svar med konstanten pi, kan du sette inn tilnærmingen 3,14 for den:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Hvordan kom vi fram til dette?

En hel sirkel har vinkelen 360° rundt sentrum. Sektoren er den delen av sirkelskiven som sentralvinkelen utgjør av 360°. En sektor med vinkelen 90° er en fjerdedel av sirkelskiven, fordi 90° er en fjerdedel av 360°. En sektor med vinkelen 180° er en halv sirkelskive, med vinkelen 270° tre fjerdedeler og med vinkelen 360° hele sirkelskiven:

Hvor stor del av hele sirkelskiven sektoren utgjør, forteller brøken

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

For vinkelen 90° får vi $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, og for 60° får vi $\frac{1}{6}$. Arealet av sektoren er altså den samme delen av arealet av hele sirkelen. Arealet av sirkelen er

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

så vi får arealet av sektoren ved å gange det med denne brøken:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Med buen fungerer det helt likt. Når vinkelen åpner seg, vokser den blå buen med, og ved vinkelen 360° er den blitt til hele sirkelen. Buen er derfor den samme delen av omkretsen av sirkelen som vinkelen α er av 360°. Omkretsen av sirkelen er

$$O=2\cdot \pi \cdot r,$$

og lengden av buen blir dermed

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot O=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Eksempel: pizza

En pizza har diameter 32 cm og er skåret i 8 like store stykker. Hvilket areal har ett stykke?

Hvert stykke er en sirkelsektor. Først trenger vi sentralvinkelen. Åtte like store stykker deler de hele 360° mellom seg, så ett stykke har vinkelen

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Nå må du passe deg for en felle: 32 cm er diameteren til pizzaen, ikke radien. Det er radien som skal inn i formelen, og den er halvparten av diameteren, altså r = 16 cm. Vi setter inn i formelen for arealet av sektoren:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Brøken forkortes til en åttedel, og det gir mening, siden stykket er en åttedel av pizzaen. Vi regner ut 16 i andre:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Vi dividerer 256 på åtte:

$$A=32\pi$$

Til slutt setter vi inn tilnærmingen for pi:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Ett stykke har et areal på omtrent 100,48 kvadratcentimeter. Hvis noen ved en feil hadde satt inn hele diameteren 32 cm i formelen, hadde de fått et stykke som er fire ganger så stort, nemlig over fire hundre kvadratcentimeter. Det ville vært en pizza som hele familien kunne spist seg mett på.

Eksempel: klokke

Minuttviseren på en veggklokke er 15 cm lang. Hvor mange centimeter tilbakelegger spissen av den på 20 minutter?

Spissen av viseren beveger seg langs en sirkel med radius lik lengden av viseren, så r = 15 cm. Strekningen den tilbakelegger, er den blå buen l. Vi trenger også vinkelen. På 60 minutter går viseren en hel runde, altså 360°. På 20 minutter rekker den en tredjedel av runden:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Vi setter inn i formelen for lengden av buen:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Brøken er en tredjedel, og 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Vi setter inn tilnærmingen for pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Spissen av minuttviseren tilbakelegger omtrent 31,4 cm på 20 minutter.

Når vi kjenner buen og skal finne vinkelen

Noen ganger er det omvendt: Vi kjenner radien og lengden av buen og vil finne sentralvinkelen. Vi tar utgangspunkt i formelen for lengden av buen og løser den med hensyn på vinkelen α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Eksempel: En bil kjører inn i en rundkjøring og følger en sirkel med radius 10 meter. Før den kjører ut igjen, kjører den 15,7 meter langs sirkelen. Hvor stor vinkel har den dreid seg rundt sentrum av rundkjøringen?

Vi setter inn l = 15,7, r = 10 og 3,14 for pi, siden lengden av buen er oppgitt som en tilnærming:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Vi ganger ut nevneren:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Tallet 15,7 er nøyaktig en fjerdedel av 62,8, så brøken kan forkortes:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Bilen har dreid seg 90° og har dermed kjørt en fjerdedel av rundkjøringen. Vi kan kontrollere om vi har regnet riktig: En fjerdedel av omkretsen er $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ meter. Det stemmer.

Vinkel i radianer

Hvis du har vinkelen oppgitt i radianer, blir formlene enklere. En hel sirkel er nemlig 360° = 2π radianer, så brøken som sier hvor stor del av sirkelskiven sektoren utgjør, er $\frac{\alpha }{2\pi }$. Når vi setter inn, forkortes pi bort:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Vær oppmerksom på at disse forkortede formlene krever vinkelen i radianer, ikke i grader. Hvis du satte inn for eksempel 45, ville du fått tull.

Pizzastykket fra eksempelet ovenfor har for eksempel vinkelen 45°, som er $\frac{\pi }{4}$ radianer. Arealet av stykket er da $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, akkurat som før.

Kalkulator

Du kan også regne ut arealet av sektoren og lengden av buen her. Vinkelen kan oppgis i både grader og radianer, og du kan bytte enhet ved hvert felt.

Se også

• Areal av sirkel
• Omkrets av sirkel
• Sirkel
• Buemål av vinkel