Cirkelsector

Een cirkelsector is een stuk van een cirkelschijf dat eruitziet als een punt van een pizza of taart. Je snijdt hem uit met twee sneden die vanuit het middelpunt tot aan de rand lopen. De sector wordt dus begrensd door twee stralen en het stuk cirkel ertussen.

Rood is de sector zelf ingekleurd, en de oppervlakte daarvan gaan we berekenen. De zwarte lijnstukken zijn de twee stralen r, dus de twee sneden met het mes. Oranje is de hoek α aangegeven die de stralen insluiten. Die heet de middelpuntshoek, omdat zijn hoekpunt in het middelpunt van de cirkelschijf ligt. Blauw is de boog b, het stuk cirkel dat de sector aan de buitenkant begrenst — bij een pizza is dat de korst.

Formules voor de sector

Zoek je alleen de formule, dan bereken je de oppervlakte opp. van een cirkelsector met straal r en middelpuntshoek α in graden als

$$\text{opp.}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

De lengte van de boog b van dezelfde sector bereken je als

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Een sector met straal r = 6 en middelpuntshoek α = 60° heeft bijvoorbeeld oppervlakte

$$\text{opp.}=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

en zijn boog is

$$b=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

lang. Vind je een uitkomst met de constante pi niet mooi, dan kun je er de benaderde waarde 3,14 voor invullen:

$$\text{opp.}\approx 6\cdot 3,14=18,84,b\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Hoe komen we hieraan?

De volle cirkelschijf heeft rond het middelpunt een hoek van 360°. Een sector is dan het deel van de cirkelschijf dat overeenkomt met het deel van de 360° dat zijn middelpuntshoek inneemt. Een sector met hoek 90° is een kwart van de cirkelschijf, want 90° is een kwart van 360°. Een sector met hoek 180° is een halve cirkelschijf, met hoek 270° driekwart en met hoek 360° de hele cirkelschijf:

Welk deel van de hele cirkelschijf de sector inneemt, vertelt de breuk

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Voor een hoek van 90° krijgen we $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, voor 60° is het $\frac{1}{6}$. De oppervlakte van de sector is dus hetzelfde deel van de oppervlakte van de hele cirkelschijf. De oppervlakte van de cirkelschijf is

$${\text{opp.}}_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

dus we krijgen de oppervlakte van de sector door die met deze breuk te vermenigvuldigen:

$$\text{opp.}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot {\text{opp.}}_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Met de boog gaat het precies zo. Als de hoek groter wordt, groeit de blauwe boog mee, en bij een hoek van 360° is het de hele cirkel. De boog is dus hetzelfde deel van de omtrek van de cirkel als de hoek α van 360°. De omtrek van de cirkel is

$$O=2\cdot \pi \cdot r,$$

en de lengte van de boog is dus

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot O=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Voorbeeld: pizza

Een pizza heeft een diameter van 32 cm en is in 8 gelijke punten gesneden. Welke oppervlakte heeft één punt?

Elke punt is een cirkelsector. Eerst hebben we de middelpuntshoek nodig. Acht gelijke punten verdelen de volle 360° onder elkaar, dus één punt heeft hoek

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Pas nu op voor een valkuil: 32 cm is de diameter van de pizza, niet de straal. In de formule hoort de straal, en die is de helft van de diameter, dus r = 16 cm. We vullen in de formule voor de oppervlakte van een sector in:

$$\text{opp.}=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

De breuk wordt vereenvoudigd tot een achtste, en dat klopt, want een punt is een achtste van de pizza. We kwadrateren de zestien:

$$\text{opp.}=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

We delen 256 door acht:

$$\text{opp.}=32\pi$$

En ten slotte vullen we de benaderde waarde van pi in:

$$\text{opp.}\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Eén punt heeft dus een oppervlakte van ongeveer 100,48 vierkante centimeter. Had iemand per ongeluk de hele diameter 32 cm in de formule ingevuld, dan had hij een punt gekregen die vier keer zo groot is, namelijk meer dan vierhonderd vierkante centimeter. Dat zou een pizza zijn waar een heel gezin genoeg aan heeft.

Voorbeeld: klok

De minutenwijzer van een klok aan de muur is 15 cm lang. Hoeveel centimeter legt de punt ervan in 20 minuten af?

De punt van de wijzer beweegt over een cirkel waarvan de straal de lengte van de wijzer is, dus r = 15 cm. De afstand die hij aflegt, is de blauwe boog b. We hebben nog de hoek nodig. In 60 minuten maakt de wijzer een hele ronde, dus 360°. In 20 minuten draait hij een derde van de ronde:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

We vullen in de formule voor de lengte van de boog in:

$$b=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

De breuk is een derde en 2 · 15 = 30:

$$b=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

We vullen de benaderde waarde van pi in:

$$b\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

De punt van de minutenwijzer legt in 20 minuten ongeveer 31,4 cm af.

Als we de boog kennen en de hoek zoeken

Soms is het andersom: we kennen de straal en de lengte van de boog en willen de middelpuntshoek weten. We gaan uit van de formule voor de lengte van de boog en maken daaruit de hoek α vrij:

$$\begin{array}{rcl}b& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot b& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot b}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Voorbeeld: Een auto rijdt een rotonde op en rijdt over een cirkel met straal 10 meter. Voordat hij de rotonde weer afrijdt, legt hij daarop 15,7 meter af. Over welke hoek is hij rond het middelpunt van de rotonde gedraaid?

We vullen b = 15,7, r = 10 en voor pi 3,14 in, omdat de lengte van de boog bij benadering is gegeven:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

We vermenigvuldigen de noemer uit:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Het getal 15,7 is precies een kwart van 62,8, dus de breuk wordt vereenvoudigd:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

De auto is over 90° gedraaid en heeft dus een kwart van de rotonde gereden. We kunnen controleren of we goed hebben gerekend: een kwart van de omtrek is $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ meter. Dat klopt.

Hoek in radialen

Heb je de hoek gegeven in radialen, dan worden de formules eenvoudiger. De hele cirkelschijf heeft namelijk 360° = 2π radialen, dus de breuk die zegt welk deel van de cirkelschijf de sector inneemt, is $\frac{\alpha }{2\pi }$. Na invullen valt pi weg:

$$b=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$\text{opp.}=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Let op: in deze verkorte formules hoort de hoek in radialen, niet in graden. Vul je er bijvoorbeeld 45 in, dan komt er onzin uit.

De pizzapunt uit het voorbeeld hierboven heeft bijvoorbeeld een hoek van 45°, en dat is $\frac{\pi }{4}$ radiaal. De oppervlakte van de punt is dan $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, net als daarnet.

Rekenmachine

De oppervlakte van de sector en de lengte van de boog kun je ook hier uitrekenen. De hoek kun je in graden of in radialen invullen, de eenheden schakel je bij elk veld om.

Zie ook

• Oppervlakte van een cirkelschijf
• Omtrek van een cirkel
• Cirkel
• Radiaal