Parametreli Birinci Dereceden Denklem

Birinci dereceden denklem, genellikle p ile gösterdiğimiz bir parametre içerebilir. Amacımız, birinci dereceden denklemin çözümünü p parametresine göre tartışmaktır.

Motivasyon

Şu problemi çözmeyi dene: “Keloğlan ile Pamuk Prenses Yedi Cüceyi Ormandan Nasıl Kovdu” adlı bir roman yazdın ve onu kitap olarak bastırıp tanıdıklarına hediye etmek istiyorsun. Elinde 10.000 TL var. Fiyat şöyle: kitap başına sabit ücret yüz TL, bunun üstüne her sayfa için bir TL ödenir. Romanın 300 sayfa. Kaç kitap bastırabilirsin?

Bu, birinci dereceden denklemlerle çözülen basit bir problem. Denklemi şöyle kurarız: x bilinmeyeni bastırabileceğimiz kitap sayısını göstersin. Şu denklemi elde ederiz: (100 + 300)x = 10.000. Parantezin içi bir kitabın fiyatını gösterir (100 sabit ücret, 300 sayfaların ücreti). Denklemi çözelim:

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& 10.000\\ 400x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

25 kitap alabiliriz. Ancak sayfa başına ücret çok yüksek, onu 0,8 TL’ye düşürelim. Şimdi kaç kitap alırız? Denklemi yeniden kurarız: (100 + 300 · 0,8)x = 10.000 ve çözeriz:

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0,8)x& =& 10.000\\ (100+240)x& =& 10.000\\ 340x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

29 kitap alabiliriz. Doğrusunu söylemek gerekirse, bu kadar çok sayfada belki sayfa başına küçük bir indirim de isteyebiliriz, değil mi? Belki yalnızca 60 kuruş, yani 0,6 TL? Olur. Hadi kaç kitap alacağımızı hesaplayalım.

Fiyatı böyle sonsuza kadar değiştirebileceğimizi tahmin edersin. Bunu zarif bir şekilde nasıl çözeriz? Parametreyle, yani kitabımızın bir sayfasının fiyatını temsil edecek ek bir harfle çözeriz. Bu parametreyi p harfiyle gösterelim. Sınırlamak için sayfa başına fiyatın (0, 1] TL aralığında olduğunu söyleyelim. Sıfır olmayacak, bunu kimse bize bedavaya basmaz; kimse de sayfa başına bir liradan fazla istemeyecek. O zaman denklem nasıl görünür?

$$(100+300p)x=10.000$$

Bu, fiyat anlayışımızla uyuşuyor — yüz TL sabit ücret, hiç değişmiyor. 300 sayfanın ücretini ise sayfa başına fiyatı, yani p parametresini 300 ile çarparak buluruz. Denklemin çözümü ne olur? Bilinmeyen x’i yalnız bırakmalıyız:

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=10.000\\ x=\frac{10.000}{100+300p}\end{array}$$

Hepsi bu. Artık sayfa başına fiyatı bilmemiz yeterli; kaç kitap alacağımızı hesaplarız. Sayfa başına fiyat yirmi kuruş olsaydı, p yerine yazınca şunu elde ederdik:

$$x=\frac{10.000}{100+300\cdot 0,2}=\frac{10.000}{100+60}=\frac{10.000}{160}\approx 62$$

62 kitap alırdık. Bu hiç fena değil.

Genel Parametreli Denklem

Genel parametreli denklemde, denklemin çözümünün parametrenin değerine göre nasıl değiştiğini bulmaya çalışırız. Böyle bir denkleme örnek:

$$(2p+2)x-6=0$$

Önce bilinmeyen x’in denklemden ne zaman kaybolduğunu buluruz. Bu, bilinmeyenin önündeki katsayı sıfır olduğunda, yani 2p + 2 = 0 olduğunda gerçekleşir. Bu denklemi çözeriz ve şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

p parametresi eksi bire eşitse denklemden bilinmeyen x düşer ve denklem −6 = 0 biçimine gelir. Bu denklemin çözüm kümesi boş kümedir; yani denklemin çözümü yoktur.

Şimdi p ≠ − 1 olduğu durumda çözümü hesaplayalım. Çözümü olağan biçimde buluruz, yalnızca “kesin” bir sonuç değil, p parametresine bağlı bir çözüm elde ederiz. Bilinmeyen x’i yalnız bırakalım:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Bu nihai sonuçtur. p ≠ − 1 ise denklemin kökü 3/(p + 1) kesrine eşittir.