Equazione di primo grado parametrica

Un’equazione di primo grado può contenere un parametro, che di solito indichiamo con p. Il nostro obiettivo è allora fare la discussione, cioè stabilire quali soluzioni ha l’equazione di primo grado al variare del parametro p.

Motivazione

Prova a risolvere il seguente problema: hai scritto un romanzo, «Il mistero del bosco incantato», e vuoi farlo stampare in forma di libro per regalarlo agli amici. Hai a disposizione 400 €. Il prezzo è il seguente: la quota base è di 4 € a libro e inoltre si pagano 4 centesimi per ogni pagina. Il tuo romanzo ha 300 pagine. Quanti libri puoi permetterti di stampare?

È un semplice problema che si risolve con un’equazione di primo grado. Scriviamo l’equazione così: l’incognita x rappresenterà il numero di libri che possiamo permetterci. Otteniamo dunque l’equazione: (4 + 300 · 0,04)x = 400. L’espressione tra parentesi rappresenta il costo di un libro (4 è la quota base e 300 · 0,04 il costo delle pagine). Risolviamo l’equazione:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot 0,04)x& =& 400\\ 16x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{16}\\ x& =& 25\end{array}$$

Possiamo permetterci di comprare 25 libri. Tuttavia il prezzo per pagina è troppo alto, quindi lo abbassiamo a 0,032 € (3,2 centesimi). Quanti libri otteniamo adesso? Scriviamo di nuovo l’equazione: (4 + 300 · 0,032)x = 400 e risolviamo:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot \mathrm{0,032})x& =& 400\\ (4+9,6)x& =& 400\\ 13,6x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{13,6}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Possiamo comprare 29 libri. A dire il vero, con un numero di pagine così alto potremmo forse chiedere un piccolo sconto su ogni pagina, no? Magari solo 2,4 centesimi, cioè 0,024 €? Va bene. Allora calcoliamo quanti libri otteniamo.

Avrai già intuito che potremmo cambiare il prezzo all’infinito. Come possiamo risolvere la questione in modo elegante? La risolviamo con un parametro, con un’altra lettera che rappresenti il prezzo di una pagina del nostro libro. Indichiamo questo parametro con la lettera p. Per limitarlo, diciamo che il prezzo per pagina varierà nell’intervallo (0; 0,04] euro. Non sarà nullo, perché nessuno ci stamperà il libro gratis, e nessuno ci chiederà più di quattro centesimi a pagina. Come si presenta allora l’equazione?

$$(4+300p)x=400$$

Corrisponde alla nostra idea di prezzo – i 4 € sono la quota base, che non cambia. E il costo di 300 pagine si calcola moltiplicando il prezzo per pagina, cioè il parametro p, per trecento. Qual è la soluzione dell’equazione? Dobbiamo isolare x:

$$\begin{array}{r}(4+300p)x=400\\ x=\frac{400}{4+300p}\end{array}$$

Ecco fatto. A questo punto ci basta conoscere il prezzo per pagina e calcoliamo quanti libri otteniamo. Se il prezzo per pagina fosse di 0,008 € (0,8 centesimi), sostituendo p abbiamo:

$$x=\frac{400}{4+300\cdot \mathrm{0,008}}=\frac{400}{4+2,4}=\frac{400}{6,4}\approx 62$$

Compreremmo 62 libri. Già un bel risultato.

Equazione parametrica generale

In un’equazione parametrica generale cerchiamo di stabilire quale soluzione ha l’equazione in funzione del valore del parametro. Un esempio di equazione di questo tipo può essere:

$$(2p+2)x-6=0$$

Per prima cosa stabiliamo quando da questa equazione scompare l’incognita x. Succede quando il coefficiente dell’incognita è uguale a zero, cioè quando 2p + 2 = 0. Risolviamo questa equazione e otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Se il parametro p è uguale a meno uno, dall’equazione scompare l’incognita x e l’equazione assume la forma: −6 = 0. Questa equazione non ha soluzioni.

Calcoliamo ora la soluzione nel caso p ≠ − 1. La soluzione si calcola nel modo consueto, solo che non otteniamo una soluzione «definitiva», ma una soluzione che dipende dal parametro p. Isoliamo x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Questo è il risultato finale. Se p ≠ − 1, la soluzione dell’equazione è uguale alla frazione 3/(p + 1).