Linjär ekvation med parameter

En linjär ekvation kan innehålla en parameter, som vi oftast kallar p. Vårt mål är då att undersöka vilken lösning den linjära ekvationen har beroende på parametern p.

Motivation

Försök lösa följande uppgift: du har skrivit romanen ”Hur trollet och ekorren jagade räven ur skogen” och vill låta trycka den som bok och ge bort den till vänner. Du har 10 000 kr att använda. Priset är följande: en grundavgift på hundra kronor per bok och dessutom en krona för varje sida. Din roman har 300 sidor. Hur många böcker har du råd att köpa?

Det här är en enkel uppgift om linjära ekvationer. Vi ställer upp ekvationen så här: den obekanta x står för antalet böcker vi har råd med. Vi får ekvationen (100 + 300)x = 10 000. Uttrycket inom parentesen är priset för en bok (100 är grundavgiften, 300 är priset för sidorna). Vi löser ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& 10000\\ 400x& =& 10000\\ x& =& \frac{10000}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

Vi har råd att köpa 25 böcker. Priset per sida är dock ganska högt, så vi sänker det till 0,8. Hur många böcker får vi nu? Vi ställer upp en ny ekvation: (100 + 300 · 0,8)x = 10 000 och löser den:

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0,8)x& =& 10000\\ (100+240)x& =& 10000\\ 340x& =& 10000\\ x& =& \frac{10000}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Vi kan köpa 29 böcker. Ärligt talat borde vi väl, med så många sidor, kunna begära lite rabatt på varje sida? Kanske bara 60 öre, 0,6 kronor? Visst. Då räknar vi ut hur många böcker vi får.

Du anar säkert att vi skulle kunna ändra priset i all oändlighet. Hur löser vi det på ett elegant sätt? Vi gör det med en parameter, ytterligare en bokstav som står för priset per sida i vår bok. Vi kallar parametern p. För att begränsa den säger vi att priset per sida ligger i intervallet ]0, 1] kronor. Det blir inte noll, ingen trycker gratis åt oss, och ingen tar mer än en krona per sida. Hur ser ekvationen ut då?

$$(100+300p)x=10000$$

Det stämmer med vår bild av priset – hundra kronor är grundavgiften, som inte ändras alls. Och priset för 300 sidor räknar vi ut genom att multiplicera priset per sida, dvs. parametern p, med trehundra. Hur blir lösningen? Vi måste lösa ut x:

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=10000\\ x=\frac{10000}{100+300p}\end{array}$$

Det var allt. Nu räcker det att känna till priset per sida, så kan vi räkna ut hur många böcker vi får. Om priset per sida är tjugo öre får vi, när vi sätter in det för p:

$$x=\frac{10000}{100+300\cdot 0,2}=\frac{10000}{100+60}=\frac{10000}{160}\approx 62$$

Vi skulle kunna köpa 62 böcker. Det är inte så illa.

Allmän ekvation med parameter

För en allmän ekvation med parameter försöker vi ta reda på vilken lösning ekvationen har beroende på parameterns värde. Ett exempel på en sådan ekvation är:

$$(2p+2)x-6=0$$

Först undersöker vi när den obekanta x försvinner ur ekvationen. Det händer när koefficienten framför den obekanta är noll, dvs. när 2p + 2 = 0. Vi löser den här ekvationen och får:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Om parametern p är lika med minus ett försvinner den obekanta x ur ekvationen och vi får ekvationen: −6 = 0. Den här ekvationen saknar lösning.

Nu räknar vi ut lösningen för fallet p ≠ − 1. Vi löser på vanligt sätt, men vi får inte en ”slutgiltig” lösning utan en lösning som beror på parametern p. Vi löser ut x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Det här är det slutliga resultatet. Om p ≠ − 1 är ekvationens lösning lika med bråket 3/(p + 1).