Ecuația de gradul întâi cu parametru

O ecuație de gradul întâi poate conține un parametru, pe care îl notăm de obicei cu p. Scopul nostru este apoi să facem discuția: ce soluție are ecuația de gradul întâi în funcție de parametrul p.

Motivație

Încearcă să rezolvi următoarea problemă: ai scris un roman, „Aventurile lui Matei în pădurea de brazi”, și vrei să îl tipărești sub formă de carte ca să le faci cadou prietenilor. Ai la dispoziție 1.000 de lei. Prețul este următorul: taxa de bază este de 10 lei pe carte și, în plus, se plătește 0,1 lei pentru fiecare pagină. Romanul tău are 300 de pagini. Câte cărți îți poți permite să comanzi?

Aceasta este o problemă simplă cu ecuații de gradul întâi. Scriem ecuația astfel: necunoscuta x va reprezenta numărul de cărți pe care ni le putem permite. Obținem ecuația (10 + 300 · 0,1)x = 1000. Expresia din paranteză reprezintă prețul unei cărți (10 este taxa de bază, iar 300 · 0,1 = 30 este prețul paginilor). Rezolvăm ecuația:

$$\begin{array}{rcl}(10+30)x& =& 1000\\ 40x& =& 1000\\ x& =& \frac{1000}{40}\\ x& =& 25\end{array}$$

Ne putem permite să cumpărăm 25 de cărți. Totuși, prețul pe pagină este prea mare, așa că îl reducem la 0,08 lei. Câte cărți obținem acum? Scriem din nou ecuația: (10 + 300 · 0,08)x = 1000 și o rezolvăm:

$$\begin{array}{rcl}(10+300\cdot 0,08)x& =& 1000\\ (10+24)x& =& 1000\\ 34x& =& 1000\\ x& =& \frac{1000}{34}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Putem cumpăra 29 de cărți. Ca să fim sinceri, la un număr atât de mare de pagini am putea cere o reducere pentru fiecare pagină, nu-i așa? Poate doar 6 bani, adică 0,06 lei? Hai, fie. Atunci calculăm câte cărți obținem.

Probabil ghicești că am putea schimba prețul la nesfârșit. Care este o cale elegantă de a rezolva problema? O rezolvăm cu ajutorul unui parametru, al unei litere în plus, care va reprezenta prețul unei pagini din cartea noastră. Acest parametru îl notăm cu litera p. Ca să îl limităm, spunem că prețul pe pagină se va afla în intervalul (0; 0,1] lei. Nu va fi nul, pentru că nimeni nu ne va tipări gratis, și nimeni nu va cere mai mult de 0,1 lei pe pagină. Cum va arăta atunci ecuația?

$$(10+300p)x=1000$$

Se potrivește cu ce ne imaginăm despre preț: 10 lei este taxa de bază, care nu se schimbă. Iar prețul celor 300 de pagini îl calculăm înmulțind prețul pe pagină, adică parametrul p, cu 300. Care este soluția ecuației? Trebuie să îl izolăm pe x:

$$\begin{array}{rcl}(10+300p)x& =& 1000\\ x& =& \frac{1000}{10+300p}\end{array}$$

Asta este tot. Acum ne este suficient să știm prețul pe pagină și calculăm câte cărți obținem. Dacă prețul pe pagină ar fi 2 bani, adică 0,02 lei, după înlocuirea lui p avem:

$$x=\frac{1000}{10+300\cdot 0,02}=\frac{1000}{10+6}=\frac{1000}{16}\approx 62$$

Am cumpăra 62 de cărți. Asta deja sună destul de bine.

Ecuația parametrică generală

La o ecuație parametrică generală încercăm să aflăm ce soluție are ecuația în funcție de valoarea parametrului. Un exemplu de astfel de ecuație este:

$$(2p+2)x-6=0$$

Mai întâi aflăm când dispare necunoscuta x din ecuație. Acest lucru se întâmplă atunci când coeficientul necunoscutei este egal cu zero, adică 2p + 2 = 0. Rezolvăm această ecuație și obținem:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Dacă parametrul p este egal cu −1, atunci necunoscuta x dispare din ecuație și ajungem la forma −6 = 0. Această ecuație nu are nicio soluție, adică S = ∅.

Acum mai calculăm soluția în cazul p ≠ − 1. Soluția o calculăm în mod obișnuit, doar că nu obținem o soluție „finală”, ci una care depinde de parametrul p. Îl izolăm pe x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Acesta este rezultatul final. Dacă p ≠ − 1, soluția ecuației este egală cu fracția 3/(p + 1).