Parametrillinen ensimmäisen asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö voi sisältää parametrin, jota merkitään yleensä kirjaimella p. Tavoitteena on tällöin tarkastella, millainen ratkaisu ensimmäisen asteen yhtälöllä on parametrin p arvosta riippuen.

Motivaatio

Yritä ratkaista seuraava tehtävä: olet kirjoittanut romaanin ”Kuinka Aino ja Eino ajoivat peikon metsästä” ja haluat painattaa sen kirjoiksi ja lahjoittaa ne tutuillesi. Käytettävissäsi on 500 €. Hinta on seuraava: perusmaksu on viisi euroa kirjalta ja lisäksi maksetaan viisi senttiä jokaisesta sivusta. Romaanissasi on 300 sivua. Montako kirjaa sinulla on varaa teettää?

Tämä on yksinkertainen ensimmäisen asteen yhtälön tehtävä. Yhtälö muodostetaan näin: tuntematon x kertoo, montako kirjaa voidaan hankkia. Saadaan siis yhtälö: (5 + 15)x = 500. Sulkulauseke esittää yhden kirjan hintaa (5 on perusmaksu, 15 on sivujen hinta). Yhtälö ratkaistaan:

$$\begin{array}{rcl}(5+15)x& =& 500\\ 20x& =& 500\\ x& =& \frac{500}{20}\\ x& =& 25\end{array}$$

Voidaan ostaa 25 kirjaa. Sivun hinta on kuitenkin liian korkea, joten lasketaan se 0,04 euroon. Montako kirjaa saadaan nyt? Muodostetaan yhtälö uudelleen: (5 + 300 · 0,04)x = 500 ja ratkaistaan:

$$\begin{array}{rcl}(5+300\cdot 0,04)x& =& 500\\ (5+12)x& =& 500\\ 17x& =& 500\\ x& =& \frac{500}{17}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Voidaan ostaa 29 kirjaa. Totta puhuen näin monesta sivusta voisi kai pyytää pientä alennusta jokaisen sivun hintaan, eikö niin? Ehkä vain 3 senttiä, eli 0,03 euroa? No olkoon. Lasketaan sitten, montako kirjaa saadaan.

Arvaat varmaan, että hintaa voisi muuttaa loputtomiin. Millä tyylikkäällä tavalla tämä ratkaistaan? Käytetään parametria, eli yhtä lisäkirjainta, joka esittää yhden kirjan sivun hintaa. Merkitään tätä parametria kirjaimella p. Rajataan sitä sen verran, että sivun hinta on välillä ]0; 0,05] euroa. Se ei ole nolla, ilmaiseksi sitä ei kukaan paina, eikä kukaan veloita enempää kuin viisi senttiä sivulta. Miltä yhtälö sitten näyttää?

$$(5+300p)x=500$$

Se sopii yhteen hintakäsityksen kanssa – viisi euroa on perusmaksu, joka ei muutu mitenkään. Ja 300 sivun hinta lasketaan kertomalla sivun hinta, eli parametri p, kolmellasadalla. Mikä on yhtälön ratkaisu? Täytyy eristää x:

$$\begin{array}{r}(5+300p)x=500\\ x=\frac{500}{5+300p}\end{array}$$

Siinä kaikki. Nyt riittää tietää sivun hinta, niin voidaan laskea, montako kirjaa saadaan. Jos sivun hinta olisi yksi sentti, saadaan sijoittamalla p:n paikalle:

$$x=\frac{500}{5+300\cdot 0,01}=\frac{500}{5+3}=\frac{500}{8}\approx 62$$

Ostettaisiin 62 kirjaa. Se on jo aika hyvä.

Yleinen parametrillinen yhtälö

Yleisessä parametrillisessa yhtälössä pyritään selvittämään, millainen ratkaisu yhtälöllä on parametrin arvosta riippuen. Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on:

$$(2p+2)x-6=0$$

Ensin selvitetään, milloin tuntematon x katoaa yhtälöstä. Niin käy, kun tuntemattoman kerroin on nolla, eli kun 2p + 2 = 0. Ratkaistaan tämä yhtälö, jolloin saadaan:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Jos parametri p on yhtä suuri kuin miinus yksi, tuntematon x putoaa yhtälöstä pois ja yhtälö saa muodon: −6 = 0. Tällä yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

Lasketaan vielä ratkaisu tapauksessa p ≠ − 1. Ratkaisu lasketaan tavalliseen tapaan, mutta tuloksena ei ole ”lopullinen” ratkaisu vaan parametrista p riippuva ratkaisu. Eristetään x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Tämä on lopputulos. Jos p ≠ − 1, yhtälön ratkaisu on murtoluku 3/(p + 1).