Equação do 1º grau com parâmetro

Uma equação do 1º grau pode conter um parâmetro, que em geral chamamos de p. Nosso objetivo é então fazer a discussão de qual solução a equação do 1º grau tem em função do parâmetro p.

Motivação

Tente resolver o seguinte problema: você escreveu o romance “A aventura de Joãozinho e a bruxa da floresta” e quer mandar imprimi-lo como livro para presentear conhecidos. Você dispõe de R$ 10.000. O preço é o seguinte: a taxa básica é de cem reais por livro e, além disso, paga-se um real por página. O seu romance tem 300 páginas. Quantos livros você pode se dar ao luxo de encomendar?

Esse é um problema simples de equação do 1º grau. Montamos a equação assim: a incógnita x representará o número de livros que podemos encomendar. Obtemos, então, a equação: (100 + 300)x = 10.000. A expressão entre parênteses representa o preço de um livro (100 é a taxa básica, 300 é o preço das páginas). Resolvemos a equação:

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& 10.000\\ 400x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

Podemos nos dar ao luxo de comprar 25 livros. Só que o preço por página é alto demais, então vamos reduzi-lo para R$ 0,80. Quantos livros conseguimos agora? De novo montamos a equação: (100 + 300 · 0,8)x = 10.000 e resolvemos:

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0,8)x& =& 10.000\\ (100+240)x& =& 10.000\\ 340x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Podemos comprar 29 livros. Para ser sincero, com uma quantidade tão grande de páginas talvez pudéssemos pedir um descontinho em cada página, não é? Talvez só 60 centavos, R$ 0,60? Ora, vamos lá. Então calculamos quantos livros conseguimos.

Você provavelmente imagina que poderíamos ficar mudando o preço indefinidamente. Qual é a maneira elegante de resolver isso? Resolvemos com um parâmetro, com mais uma letrinha que representará o preço de uma página do nosso livro. Vamos chamar esse parâmetro de p. Para restringi-lo, digamos que o preço por página fique no intervalo ]0, 1] real. Não será zero, porque ninguém vai imprimir de graça para nós, e ninguém cobrará mais que um real por página. Como ficará, então, a equação?

$$(100+300p)x=10.000$$

Isso combina com a nossa ideia de preço: cem reais é a taxa básica, que não muda de forma alguma. E calculamos o preço de 300 páginas multiplicando o preço por página, isto é, o parâmetro p, por trezentos. Qual será a solução da equação? Precisamos isolar x:

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=10.000\\ x=\frac{10.000}{100+300p}\end{array}$$

É só isso. Agora basta conhecer o preço por página e calculamos quantos livros conseguimos. Se o preço por página fosse vinte centavos, teríamos, substituindo p:

$$x=\frac{10.000}{100+300\cdot 0,2}=\frac{10.000}{100+60}=\frac{10.000}{160}\approx 62$$

Compraríamos 62 livros. Isso já é bem bonito.

Equação geral com parâmetro

Em uma equação geral com parâmetro, procuramos descobrir qual solução a equação tem em função do valor do parâmetro. Um exemplo de equação assim pode ser:

$$(2p+2)x-6=0$$

Primeiro descobrimos quando a incógnita x desaparece dessa equação. Isso ocorre quando o coeficiente da incógnita é igual a zero, isto é, quando 2p + 2 = 0. Resolvemos essa equação e obtemos:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Se o parâmetro p é igual a menos um, a incógnita x desaparece da equação e obtemos a equação: −6 = 0. Essa equação não tem nenhuma solução.

Agora calculamos ainda a solução para o caso p ≠ − 1. Calculamos a solução da maneira habitual, só que não obtemos uma solução “final”, e sim uma solução que depende do parâmetro p. Isolamos x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/÷(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Esse é o resultado final. Se p ≠ − 1, a raiz da equação é igual à fração 3/(p + 1).