Paraméteres elsőfokú egyenlet

Az elsőfokú egyenlet tartalmazhat paramétert, amelyet általában p-vel jelölünk. A célunk ekkor az, hogy diszkussziót végezzünk: milyen megoldása van az elsőfokú egyenletnek a p paramétertől függően.

Motiváció

Próbáld megoldani a következő feladatot: megírtad a „Hogyan kergette el a kis kobold a sárkányt az erdőből” című regényt, és könyvként szeretnéd kinyomtattatni, hogy megajándékozd vele az ismerőseidet. Erre 100 000 forint áll a rendelkezésedre. Az ár a következő: az alapdíj könyvenként ezer forint, ezen felül oldalanként tíz forintot kell fizetni. A regényed 300 oldalas. Hány könyvet engedhetsz meg magadnak?

Ez egy egyszerű elsőfokú egyenletes feladat. Az egyenletet így állítjuk fel: az x ismeretlen a megvehető könyvek számát jelenti. Így kapjuk az egyenletet: (1000 + 3000)x = 100 000. A zárójelben álló kifejezés egy könyv árát jelenti (az 1000 az alapdíj, a 3000 az oldalak ára). Megoldjuk az egyenletet:

$$\begin{array}{rcl}(1000+3000)x& =& 100000\\ 4000x& =& 100000\\ x& =& \frac{100000}{4000}\\ x& =& 25\end{array}$$

25 könyvet engedhetünk meg magunknak. Az oldalankénti ár azonban túl nagy, csökkentsük 8 forintra. Hány könyvet kapunk most? Újra felállítjuk az egyenletet: (1000 + 300 · 8)x = 100 000, és megoldjuk:

$$\begin{array}{rcl}(1000+300\cdot 8)x& =& 100000\\ (1000+2400)x& =& 100000\\ 3400x& =& 100000\\ x& =& \frac{100000}{3400}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

29 könyvet vehetünk. Az igazat megvallva ilyen viszonylag sok oldalnál talán kérhetnénk valami kedvezményt minden oldalra, nem? Mondjuk csak 6 forintra? Hát jó. Akkor kiszámoljuk, hány könyvet kapunk.

Gondolhatod, hogy így a végtelenségig változtathatnánk az árat. Hogyan oldjuk meg ezt elegánsan? Paraméterrel oldjuk meg, egy további betűvel, amely egy oldal árát jelenti a könyvünkben. Ezt a paramétert p betűvel jelöljük. Hogy korlátozzuk, mondjuk azt, hogy az oldalankénti ár a ]0; 10] intervallumban mozog (forintban). Nem lesz nulla, ingyen senki nem fogja nekünk kinyomtatni, és senki sem lesz drágább tíz forintnál oldalanként. Hogyan fog akkor kinézni az egyenlet?

$$(1000+300p)x=100000$$

Ez egyezik az árról alkotott elképzelésünkkel – ezer forint az alapdíj, az semmit sem változik. A 300 oldal árát pedig úgy számítjuk ki, hogy az oldalankénti árat, vagyis a p paramétert megszorozzuk háromszázzal. Mi lesz az egyenlet megoldása? Ki kell fejeznünk az x-et:

$$\begin{array}{r}(1000+300p)x=100000\\ x=\frac{100000}{1000+300p}\end{array}$$

Ennyi az egész. Most már elég ismernünk az oldalankénti árat, és kiszámítjuk, hány könyvet kapunk. Ha az oldalankénti ár két forint lenne, akkor a p helyére behelyettesítve:

$$x=\frac{100000}{1000+300\cdot 2}=\frac{100000}{1000+600}=\frac{100000}{1600}\approx 62$$

62 könyvet vehetnénk. Ez már egész szép.

Az általános paraméteres egyenlet

Az általános paraméteres egyenletnél azt igyekszünk megállapítani, milyen megoldása van az egyenletnek a paraméter értékétől függően. Ilyen egyenlet lehet például:

$$(2p+2)x-6=0$$

Először megállapítjuk, mikor tűnik el az egyenletből az x ismeretlen. Ez akkor következik be, ha az ismeretlen előtti együttható nulla, vagyis amikor 2p + 2 = 0. Megoldjuk ezt az egyenletet, és ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Ha a p paraméter egyenlő mínusz eggyel, akkor az x ismeretlen kiesik az egyenletből, és az egyenlet alakja: −6 = 0. Ennek az egyenletnek nincs megoldása.

Most még kiszámoljuk a megoldást arra az esetre, ha p ≠ − 1. A megoldást a szokásos módon számoljuk ki, csak nem „végleges” megoldást kapunk, hanem a p paramétertől függő megoldást. Kifejezzük az x-et:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Ez a végeredmény. Ha p ≠ − 1, az egyenlet gyöke a 3/(p + 1) tört.