Παραμετρική εξίσωση πρώτου βαθμού

Η εξίσωση πρώτου βαθμού μπορεί να περιέχει παράμετρο, που συνήθως τη συμβολίζουμε λ. Στόχος μας είναι τότε να κάνουμε διερεύνηση, δηλαδή να βρούμε ποια λύση έχει η εξίσωση πρώτου βαθμού ανάλογα με την παράμετρο λ.

Κίνητρο

Δοκίμασε να λύσεις την παρακάτω άσκηση: έγραψες ένα μυθιστόρημα με τίτλο «Η περιπέτεια του μικρού δράκου» και θέλεις να το τυπώσεις ως βιβλίο και να το χαρίσεις σε γνωστούς. Έχεις στη διάθεσή σου 400 €. Η τιμή είναι η εξής: η βασική χρέωση είναι 4 € ανά βιβλίο και επιπλέον πληρώνεις 4 λεπτά για κάθε σελίδα. Το μυθιστόρημά σου έχει 300 σελίδες. Πόσα βιβλία μπορείς να αγοράσεις;

Αυτή είναι μια απλή άσκηση με εξισώσεις πρώτου βαθμού. Την εξίσωση τη φτιάχνουμε ως εξής: ο άγνωστος x θα παριστάνει τον αριθμό των βιβλίων που μπορούμε να αγοράσουμε. Παίρνουμε λοιπόν την εξίσωση: (4 + 300 · 0,04)x = 400. Η παράσταση στην παρένθεση παριστάνει την τιμή ενός βιβλίου (το 4 είναι η βάση, το 12 η τιμή για τις σελίδες). Λύνουμε την εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot 0,04)x& =& 400\\ 16x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{16}\\ x& =& 25\end{array}$$

Μπορούμε να αγοράσουμε 25 βιβλία. Ωστόσο η τιμή ανά σελίδα είναι πολύ μεγάλη, ας τη μειώσουμε σε 0,032 €. Πόσα βιβλία παίρνουμε τώρα; Ξαναφτιάχνουμε την εξίσωση: (4 + 300 · 0,032)x = 400 και τη λύνουμε:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot \mathrm{0,032})x& =& 400\\ (4+9,6)x& =& 400\\ 13,6x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{13,6}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Μπορούμε να αγοράσουμε 29 βιβλία. Για να πούμε την αλήθεια, με τόσο μεγάλο αριθμό σελίδων θα μπορούσαμε ίσως να ζητήσουμε μια μικρή έκπτωση ανά σελίδα, έτσι δεν είναι; Ίσως μόνο 2,4 λεπτά, δηλαδή 0,024 €; Εντάξει. Ας υπολογίσουμε λοιπόν πόσα βιβλία παίρνουμε.

Μάλλον καταλαβαίνεις ότι έτσι θα μπορούσαμε να αλλάζουμε την τιμή επ' άπειρον. Με ποιον κομψό τρόπο θα το λύσουμε; Θα το λύσουμε με μια παράμετρο, με ένα ακόμα γράμμα, που θα παριστάνει την τιμή ανά σελίδα του βιβλίου μας. Αυτή την παράμετρο θα τη συμβολίσουμε με το γράμμα λ. Για να την περιορίσουμε, ας πούμε ότι η τιμή ανά σελίδα κινείται στο διάστημα (0; 0,04] ευρώ. Δεν θα είναι μηδέν, δωρεάν δεν θα μας το τυπώσει κανείς, και κανείς δεν θα χρεώνει πάνω από 4 λεπτά ανά σελίδα. Πώς θα μοιάζει τότε η εξίσωση;

$$(4+300\lambda )x=400$$

Ταιριάζει με την ιδέα που έχουμε για την τιμή – τα 4 € είναι η βάση, που δεν αλλάζει καθόλου. Και την τιμή για 300 σελίδες τη βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας την τιμή ανά σελίδα, δηλαδή την παράμετρο λ, με το τριακόσια. Ποια θα είναι η λύση της εξίσωσης; Πρέπει να απομονώσουμε το x:

$$\begin{array}{r}(4+300\lambda )x=400\\ x=\frac{400}{4+300\lambda }\end{array}$$

Αυτό είναι όλο. Τώρα πια αρκεί να ξέρουμε την τιμή ανά σελίδα και υπολογίζουμε πόσα βιβλία παίρνουμε. Αν η τιμή ανά σελίδα ήταν 0,8 λεπτά, έχουμε μετά την αντικατάσταση του λ:

$$x=\frac{400}{4+300\cdot \mathrm{0,008}}=\frac{400}{4+2,4}=\frac{400}{6,4}\approx 62$$

Θα αγοράζαμε 62 βιβλία. Αυτό είναι ήδη αρκετά ωραίο.

Γενική παραμετρική εξίσωση

Στη γενική παραμετρική εξίσωση προσπαθούμε να βρούμε ποια λύση έχει η εξίσωση ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου. Παράδειγμα τέτοιας εξίσωσης μπορεί να είναι:

$$(2\lambda +2)x-6=0$$

Πρώτα βρίσκουμε πότε από μια τέτοια εξίσωση εξαφανίζεται ο άγνωστος x. Αυτό συμβαίνει όταν ο συντελεστής μπροστά από τον άγνωστο είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή όταν 2λ + 2 = 0. Λύνουμε αυτή την εξίσωση και παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}2\lambda +2& =& 0\\ 2\lambda & =& -2\\ \lambda & =& -1\end{array}$$

Στην περίπτωση που η παράμετρος λ είναι ίση με μείον ένα, από την εξίσωση φεύγει ο άγνωστος x και παίρνουμε την εξίσωση: −6 = 0. Αυτή η εξίσωση δεν έχει καμία λύση, είναι αδύνατη.

Τώρα υπολογίζουμε ακόμα τη λύση στην περίπτωση που λ ≠ − 1. Τη λύση την υπολογίζουμε κλασικά, μόνο που δεν παίρνουμε «τελική» λύση, αλλά λύση που εξαρτάται από την παράμετρο λ. Απομονώνουμε το x:

$$\begin{array}{rcl}(2\lambda +2)x-6& =& 0/+6\\ (2\lambda +2)x& =& 6/:(2\lambda +2)\\ x& =& \frac{6}{2\lambda +2}\\ x& =& \frac{3}{\lambda +1}\end{array}$$

Αυτό είναι το τελικό αποτέλεσμα. Στην περίπτωση που λ ≠ − 1, η ρίζα της εξίσωσης είναι ίση με το κλάσμα 3/(λ + 1).