Lineær ligning med parameter

En lineær ligning kan indeholde en parameter, som vi som regel kalder p. Vores mål er så at undersøge, hvilken løsning den lineære ligning har, afhængigt af parameteren p.

Motivation

Prøv at løse følgende opgave: Du har skrevet en roman, »Hvordan Rasmus og Snehvide jagede skovtrolden ud af skoven«, og vil have den trykt som bog og give den til nogle, du kender. Du har 10.000 kr. til rådighed. Prisen er sådan her: Der er et grundgebyr på hundrede kroner pr. bog, og derudover betaler du en krone for hver side. Din roman har 300 sider. Hvor mange bøger har du råd til at bestille?

Det er en enkel opgave om lineære ligninger. Vi opstiller ligningen sådan her: Den ubekendte x er antallet af bøger, vi har råd til. Så får vi ligningen (100 + 300)x = 10.000. Udtrykket i parentesen er prisen på én bog (100 er grundgebyret, 300 er prisen for siderne). Vi løser ligningen:

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& 10.000\\ 400x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

Vi har råd til at købe 25 bøger. Prisen pr. side er dog for høj, så vi sænker den til 0,8. Hvor mange bøger får vi nu? Vi opstiller ligningen igen: (100 + 300 · 0,8)x = 10.000, og løser den:

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0,8)x& =& 10.000\\ (100+240)x& =& 10.000\\ 340x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Vi kan købe 29 bøger. Når vi nu har så mange sider, kunne vi faktisk godt forlange en lille rabat pr. side, ikke? Måske bare 60 øre, altså 0,6 kroner? Ja, hvorfor ikke. Så regner vi på, hvor mange bøger vi får.

Du kan nok mærke, at vi på den måde kunne blive ved med at ændre prisen i det uendelige. Hvordan løser vi det elegant? Vi løser det med en parameter, et ekstra bogstav, der står for prisen for én side af vores bog. Denne parameter kalder vi p. For at begrænse den siger vi, at prisen pr. side ligger i intervallet ]0; 1] kroner. Den er ikke nul, for ingen vil trykke det gratis til os, og ingen vil tage mere end en krone pr. side. Hvordan kommer ligningen så til at se ud?

$$(100+300p)x=10.000$$

Det passer med vores forestilling om prisen — hundrede kroner er grundgebyret, og det ændrer sig ikke. Og prisen for 300 sider beregner vi ved at gange prisen pr. side, altså parameteren p, med tre hundrede. Hvad er løsningen til ligningen? Vi skal isolere x:

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=10.000\\ x=\frac{10.000}{100+300p}\end{array}$$

Det var det hele. Nu behøver vi bare at kende prisen pr. side, så kan vi regne ud, hvor mange bøger vi får. Hvis prisen pr. side var tyve øre, ville vi ved indsættelse af p få:

$$x=\frac{10.000}{100+300\cdot 0,2}=\frac{10.000}{100+60}=\frac{10.000}{160}\approx 62$$

Vi ville kunne købe 62 bøger. Det er da ret flot.

Generel ligning med parameter

Ved en generel ligning med parameter forsøger vi at finde ud af, hvilken løsning ligningen har, afhængigt af parameterens værdi. Et eksempel på sådan en ligning kan være:

$$(2p+2)x-6=0$$

Først finder vi ud af, hvornår den ubekendte x forsvinder fra ligningen. Det sker, når koefficienten foran den ubekendte er nul, altså når 2p + 2 = 0. Vi løser denne ligning og får:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Hvis parameteren p er lig med minus et, falder den ubekendte x ud af ligningen, og vi får ligningen −6 = 0. Denne ligning har ingen løsning.

Nu mangler vi at beregne løsningen i det tilfælde, hvor p ≠ − 1. Løsningen beregner vi på den sædvanlige måde, men vi får ikke en »endelig« løsning, men en løsning, der afhænger af parameteren p. Vi isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Det er det endelige resultat. Hvis p ≠ − 1, er ligningens løsning lig med brøken 3/(p + 1).