Birinci Dereceden Eşitsizlik

Birinci dereceden eşitsizlik, sıradan bir birinci dereceden denklemi çözerken yaptığın işlemlere benzer işlemlerle çözülür. Birinci dereceden eşitsizlik genellikle şu biçimdedir: ax + b>0 (ya da küçüktür, büyük eşittir veya küçük eşittir). Şimdi eşitsizliği şu biçime getirmek yeter, sonuç hazırdır: x>−b/a. Elbette a>0 olduğunu varsayıyoruz. Negatif a için bölerken eşitsizlik işareti yön değiştirir ve x<−b/a çıkar.

Basit Birinci Dereceden Eşitsizlik

Birinci dereceden eşitsizliği eşitsizliklerde denk işlemlerle çözebiliriz.

• Basit bir örnek şöyle olabilir:

  $$3x+9>3$$

  Önce bilinmeyen içermeyen tüm ifadeleri sağ tarafa geçireceğiz. Yani eşitsizliğin iki tarafına −9 ekleriz ve şu eşitsizliği elde ederiz:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Sonra eşitsizliğin her iki tarafını üçe böleriz:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Eşitsizliğin tamamının sonucu budur. Eşitsizlik, x > −2 olan her x için sağlanır.

  Eşitsizliği grafikle de çözebiliriz. 3x + 9 > 3 eşitsizliği için iki fonksiyonun — eşitsizliğin sol ve sağ tarafının — grafiğini çizeriz. f(x) = 3x + 9 ve g(x) = 3 fonksiyonlarını elde ederiz. Grafikleri şöyle görünür:

  

  Bu grafiklerin tek bir noktada kesiştiğini görüyoruz; bu noktanın x₁ apsisi tam olarak −2’dir. Ayrıca x₁’den büyük tüm x için, yani (−2, ∞) aralığındaki tüm x için kırmızı 3x + 9 fonksiyonu mavi 3 fonksiyonunun “üstündedir” (burada “üstünde”, “daha büyük y koordinatına sahip” anlamında). Bu da az önce hesapla bulduğumuz sonuçla uyuşuyor.

• Bazen eksi işaretleri çok olduğunda eşitsizliğin tamamını eksi birle çarpmak işe yarar. Bu durumda eşitsizliğin değerlerinin yanında eşitsizlik işaretini de çevirmen gerekir — büyüktür işareti küçüktür, küçüktür işareti büyüktür olur:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Bu, eşitsizliğin tamamını herhangi bir negatif sayıyla çarptığında her zaman geçerlidir. Hızlı bir örnek daha:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  İlk adımda eşitsizliğin iki tarafına −2x ekleriz, yani değişkenli tüm ifadeleri sol tarafa geçiririz. Aynı zamanda sekizi çıkarırız, yani sabitleri sağ tarafa geçiririz. Sonra eşitsizliğin tamamını $-\frac{1}{5}$ ile çarparız.

  Örnek olarak f(x) = −3x + 8 ve g(x) = 2x − 7 fonksiyonlarını çizdiğimiz grafikle çözüme de bakabilirsin.

  

  Kırmızı −3x + 8 fonksiyonunun grafiğinin, x > 3 olduğu her durumda mavi 2x − 7 fonksiyonunun grafiğinin altında kaldığını görüyoruz.

Paydasında Bilinmeyen Olan Eşitsizlik

Paydasında değişken bulunan kesirler içeren birinci dereceden eşitsizlik biraz daha karmaşık bir yolla çözülür. Örnek olarak şu eşitsizliği alalım:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Eşitsizliği paydadaki bilinmeyenle çarpamayız, çünkü onun işaretini bilmiyoruz. Değişkenin değeri negatif olsaydı eşitsizlik işaretini çevirmemiz gerekirdi. Bu yüzden eşitsizliği paydadaki değişkenle öyle kolayca çarpamayız. Bu bir denk işlem olmazdı.

Eşitsizliği, sol tarafta tek bir kesir, sağ tarafta sıfır olacak biçimde düzenlemeye başlarız. Önce eşitsizliğin iki tarafına −4 ekleriz, böylece şu biçimi elde ederiz:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Şimdi sol taraftaki ifadeyi tek bir kesre dönüştürmemiz gerek. −1 sayısını $\frac{x}{x}$ kesriyle çarparak iki ifadeyi ortak paydaya getiririz, sonra kesirleri toplarız:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Şimdi şu soruyla karşı karşıyayız — kesir ne zaman pozitiftir? Kesir, pay ile payda ikisi de pozitifse ya da ikisi de negatifse pozitiftir. Biri pozitif, diğeri negatifse kesir negatiftir. Örneğin $\frac{4}{3}$ kesrimiz varsa kesrin tamamı pozitif bir sayıyı gösterir. $\frac{-3}{4}$ kesri negatif bir sayıyı gösterir. $\frac{-3}{-4}$ kesri ise eksiler birbirini götürdüğü için yine pozitif bir sayıyı gösterir. Genel olarak şöyle yazabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{pozitif}}{\text{pozitif}}& =& \text{pozitif}\\ \frac{\text{pozitif}}{\text{negatif}}& =& \text{negatif}\\ \frac{\text{negatif}}{\text{pozitif}}& =& \text{negatif}\\ \frac{\text{negatif}}{\text{negatif}}& =& \text{pozitif}\end{array}$$

Bu yüzden iki eşitsizlik takımı çözmemiz gerekecek. Önce pay ile paydanın ikisinin de pozitif olduğu durumu bulalım:

1. Pay ile paydanın ikisi de pozitif olsun diye şu iki eşitsizliğin aynı anda sağlanması gerekir:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   İlk eşitsizlikte 2’yi diğer tarafa geçirip −1 ile çarparız:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   İlk eşitsizliğin çözümünü bulduk. İkinci eşitsizlik x > 0 için yapılacak başka bir şey yok. Şimdi bu çözümlerin kesişimini almalıyız, çünkü iki çözümün aynı anda sağlandığı, yani payın pozitif ve paydanın da pozitif olduğu durumlar bizi ilgilendiriyor. İlk çözümü (−∞, 2) aralığı olarak, ikinci çözümü (0, ∞) aralığı olarak yazabiliriz. Şimdi bu aralıkların kesişimini alalım:

   $$(-\mathrm{\infty },2)\cap (0,\mathrm{\infty })=(0,2)$$

   Bu, eşitsizliğin bir çözümüdür. Bu aralıktan sayılar yazarsan eşitsizlik sağlanır. Örneğin x yerine (0, 2) aralığından bir sayı olan x = 1 yazarsak $\frac{2}{1}+3>4$ eşitsizliğini elde ederiz, bu da 5 > 4 demektir. Şimdi pay ile paydanın ikisinin de negatif olduğu durumu incelemek kalıyor.

2. Pay ile paydanın ikisinin de negatif olması gerekiyorsa şu eşitsizlikleri çözeriz:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Yine 2 − x < 0 eşitsizliğini hızlıca çözelim:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   İkinci çözüm yine basitçe x < 0. Aralık olarak yazalım: (2, ∞) ve (−∞, 0), sonra kesişimlerini alalım:

   $$(2,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Boş küme çıktı. Bu ne demek? $\frac{2-x}{x}$ kesrinin payı ve paydası aynı anda hiçbir zaman negatif olamaz.

Önceki iki sonucun yalnızca birleşimini alırız ve çözüm kümesini elde ederiz:

$$\text{ÇK}=(0,2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0,2)$$

$\frac{2}{x}+3>4$ eşitsizliği, (0, 2) aralığındaki tüm x değerleri için sağlanır. $f(x)=\frac{2}{x}+3$ ve g(x) = 4 fonksiyonlarını gösteren bir grafik çizebiliriz:

Kırmızı $f(x)=\frac{2}{x}+3$ fonksiyonunun grafiğinin, mavi g(x) = 4 fonksiyonunun grafiğinin üstünde kaldığı yerin tam olarak (0, 2) aralığı olduğunu görüyoruz.

Mutlak Değerli Birinci Dereceden Eşitsizlik

Mutlak değer içeren eşitsizliklerle biraz daha eğlenceli olur. Çünkü mutlak değerin içindeki ifadenin ne zaman pozitif olduğunu — ve dolayısıyla işaretin değişmediğini — ve ne zaman negatif olduğunu — ve işaretin değiştiğini — ayrı ayrı hesaplaman gerekir; aslında tek eşitsizlikte iki eşitsizlik ortaya çıkar. Basit bir örnek:

$$|x+5|<12$$

Önce mutlak değerin içini sıfır yapan değeri bulmamız gerekir. Bu, yerine yazıldığında mutlak değerin içindeki ifadenin tamamını sıfır yapan sayıdır ve işaretin hangi aralıklarda değiştiğini, hangilerinde değişmediğini belirlemeye yarar. Yani önce şu denklemi çözeriz

$$x+5=0$$

Sonucun x = −5 olduğunu görüyoruz. Bu sonuç x değerlerini iki aralığa böler. Birinde x + 5 fonksiyonu pozitif değerler alır, diğerinde negatif değerler. Yani (−∞, −5) aralığında negatif sayılar, [−5, ∞) aralığında pozitif, daha doğrusu negatif olmayan sayılar elde ederiz. Örnek olarak, ilk satırda birinci aralıktan, ikinci satırda ikinci aralıktan bir sayı var:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Bu bize ne söylüyor? x yerine eksi beşten büyük bir değer yazarsak mutlak değer sonucu değiştirmez, çünkü x + 5 pozitif bir sayı olur. Tersine, x değeri eksi beşten küçükse x + 5 sonucu negatif olur ve mutlak değer onu pozitife çevirir. Bu yüzden eşitsizlikte bu iki durumu ayırmamız gerekir.

İlk olarak x’i [−5, ∞) aralığından aldığımız durumda sonucu hesaplayalım. Bu durumda işaret değişmez, çünkü mutlak değeri yalnızca kaldırırız.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty },7)\end{array}$$

İlk çözümü neredeyse bulduk. Çünkü bu çözümü, x’i şu anda seçtiğimiz aralıkla da kesiştirmemiz gerekiyor. [−5, ∞) aralığında hareket ettiğimiz için bu birinci dereceden eşitsizliğin sonucu örneğin x = −15 olamaz, çünkü o bizim aralığımıza girmez. Bu yüzden kesişimi alırız:

$$[-5,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },7)=[-5,7)$$

Bu ilk sonuçtur. Şimdi x’i (−∞, −5) aralığından aldığımız durumda sonucu hesaplamalıyız. Bu aralıkta mutlak değer işareti değiştirir. Mutlak değeri eşitsizlikten kaldırmak istiyorsak işaret değişimini kendimiz sağlamalıyız, yani mutlak değerin içindeki ifadeyi −1 ile çarparız ve böylece ifadenin işaretini değiştiririz. Yani şöyle yazarız:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Eşitsizliğe 5 ekleriz:

$$-x<17$$

Ve −1 ile çarparız:

$$x>-17$$

Böylece şu sonucu elde ederiz:

$$x\in (-17,\mathrm{\infty })$$

Ama yine daha önce olduğu gibi x’i (−∞, −5) aralığından seçiyoruz, bu yüzden bu aralığın sonucumuzla kesişimini de almalıyız:

$$(-17,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-5)=(-17,-5)$$

Artık iki sonuca da sahibiz, bunların yalnızca birleşimini alırız:

$$x\in [-5,7)\cup (-17,-5)=(-17,7)$$

Doğrulamak için bu fonksiyonların grafiklerine bakabiliriz:

Kapalı ve açık aralığın ne zaman kullanılacağı hakkında birkaç söz daha. Kesin eşitsizliğimiz varsa, yani x>0 ise açık aralık kullanırız, çünkü x sıfıra eşit olamaz. Kesin olmayan x ≥ 0 eşitsizliğimiz varsa kapalı aralık kullanırız, çünkü x sıfıra eşit olabilir. Örneğin şimdi çözdüğümüz eşitsizlikte x = 7 yazarsan — ki 7, eşitsizliğin çözümünün “kıl payı” dışında kalır — şunu elde edersin:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Eşitsizlik sağlanmaz, 12 sayısı 12’den küçük değildir.