Lineær likning med parameter

En lineær likning kan inneholde en parameter, som vi vanligvis kaller p. Målet er da å undersøke hvilken løsning den lineære likningen har avhengig av parameteren p.

Motivasjon

Prøv å løse følgende oppgave: Du har skrevet romanen «Hvordan trollet og snøfrøkenen jagde nøkken ut av skogen», og du vil la den trykke som bok og gi bort til kjente. Du har 10 000 kr til rådighet. Prisen er som følger: Grunngebyret er hundre kroner per bok, og i tillegg betaler du én krone for hver side. Romanen din har 300 sider. Hvor mange bøker har du råd til å skaffe deg?

Dette er en enkel oppgave om lineære likninger. Likningen setter vi opp slik: Den ukjente x står for antall bøker vi har råd til. Vi får altså likningen: (100 + 300)x = 10000. Uttrykket i parentesen er prisen for én bok (100 er grunngebyret, 300 er prisen for sidene). Vi løser likningen:

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& 10000\\ 400x& =& 10000\\ x& =& \frac{10000}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

Vi har råd til å kjøpe 25 bøker. Men prisen per side er for høy, så vi senker den til 0,8. Hvor mange bøker får vi nå? Vi setter opp likningen på nytt: (100 + 300 · 0,8)x = 10000 og løser den:

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0,8)x& =& 10000\\ (100+240)x& =& 10000\\ 340x& =& 10000\\ x& =& \frac{10000}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Vi kan kjøpe 29 bøker. Ærlig talt, med så mange sider kunne vi kanskje ha forlangt en liten rabatt per side, ikke sant? Kanskje bare 60 øre, altså 0,6 kroner? Greit. Da regner vi ut hvor mange bøker vi får.

Du aner sikkert at vi kunne endre prisen i det uendelige. Hvordan løser vi dette på en elegant måte? Vi løser det ved hjelp av en parameter, en ekstra bokstav som står for prisen for én side i boken vår. Denne parameteren kaller vi p. For å begrense den sier vi at prisen per side ligger i intervallet ⟨0, 1] kroner. Den blir ikke null, ingen kommer til å trykke det gratis for oss, og ingen blir dyrere enn en krone per side. Hvordan ser likningen ut da?

$$(100+300p)x=10000$$

Det stemmer med forestillingen vår om prisen — hundre kroner er grunngebyret, som ikke endrer seg. Og prisen for 300 sider regner vi ut ved å gange prisen per side, altså parameteren p, med tre hundre. Hva blir løsningen av likningen? Vi må isolere x:

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=10000\\ x=\frac{10000}{100+300p}\end{array}$$

Det var alt. Nå holder det å kjenne prisen per side, så regner vi ut hvor mange bøker vi får. Hvis prisen per side var tjue øre, har vi etter innsetting for p:

$$x=\frac{10000}{100+300\cdot 0,2}=\frac{10000}{100+60}=\frac{10000}{160}\approx 62$$

Vi ville kunne kjøpe 62 bøker. Det er allerede ganske bra.

Generell likning med parameter

For en generell likning med parameter prøver vi å finne ut hvilken løsning likningen har avhengig av verdien til parameteren. Et eksempel på en slik likning kan være:

$$(2p+2)x-6=0$$

Først finner vi ut når den ukjente x forsvinner fra en slik likning. Det skjer når koeffisienten foran den ukjente er null, altså når 2p + 2 = 0. Vi løser denne likningen og får:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Hvis parameteren p er lik minus én, forsvinner den ukjente x fra likningen, og vi får likningen: −6 = 0. Denne likningen har ingen løsning.

Nå regner vi ut løsningen i tilfellet p ≠ − 1. Vi regner ut løsningen på vanlig måte, men vi får ikke en «endelig» løsning, men en løsning som avhenger av parameteren p. Vi isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Dette er det endelige svaret. Hvis p ≠ − 1, er løsningen av likningen lik brøken 3/(p + 1).