Lineaire vergelijking met een parameter

Een lineaire vergelijking kan een parameter bevatten, die we meestal met p aanduiden. Ons doel is dan om te bespreken welke oplossing de lineaire vergelijking heeft, afhankelijk van de parameter p.

Motivatie

Probeer de volgende opgave op te lossen: je hebt een roman geschreven, “Hoe Roodkapje en Klein Duimpje de wolf uit het bos verjoegen”, en je wilt hem als boek laten drukken en aan bekenden cadeau doen. Daarvoor heb je € 500 beschikbaar. De prijs is als volgt: de basiskosten bedragen € 5 per boek en daarbovenop betaal je 5 cent voor elke pagina. Je roman heeft 300 pagina's. Hoeveel boeken kun je je veroorloven?

Dit is een eenvoudige opgave over lineaire vergelijkingen. We stellen de vergelijking zo op: de onbekende x stelt het aantal boeken voor dat we kunnen laten drukken. We krijgen dus de vergelijking: (5 + 300 · 0,05)x = 500. De uitdrukking tussen haakjes is de prijs van één boek (5 is de basis, 15 is de prijs voor de pagina's). We lossen de vergelijking op:

$$\begin{array}{rcl}(5+300\cdot 0,05)x& =& 500\\ (5+15)x& =& 500\\ 20x& =& 500\\ x& =& \frac{500}{20}\\ x& =& 25\end{array}$$

We kunnen ons veroorloven 25 boeken te kopen. De prijs per pagina is echter te hoog, we verlagen die naar 0,04 euro. Hoeveel boeken krijgen we nu? We stellen opnieuw een vergelijking op: (5 + 300 · 0,04)x = 500 en lossen op:

$$\begin{array}{rcl}(5+300\cdot 0,04)x& =& 500\\ (5+12)x& =& 500\\ 17x& =& 500\\ x& =& \frac{500}{17}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

We kunnen 29 boeken kopen. Eerlijk gezegd zouden we bij zo'n vrij groot aantal pagina's misschien wel wat korting per pagina kunnen vragen, toch? Misschien maar 3 cent, 0,03 euro? Nou, vooruit. Dan rekenen we uit hoeveel boeken we krijgen.

Je vermoedt waarschijnlijk dat we de prijs zo eindeloos zouden kunnen veranderen. Hoe lossen we dat op een elegante manier op? We lossen het op met een parameter, met nog een letter die de prijs voor één pagina van ons boek voorstelt. Deze parameter noemen we p. Om hem te beperken zeggen we dat de prijs per pagina in het interval ⟨0; 0,05] euro ligt. Hij is niet nul, voor niets gaat niemand het drukken, en niemand is duurder dan 5 cent per pagina. Hoe ziet de vergelijking er dan uit?

$$(5+300p)x=500$$

Dat klopt met ons beeld van de prijs: vijf euro is de basis, die verandert niet. En de prijs voor 300 pagina's berekenen we door de prijs per pagina, dus de parameter p, met driehonderd te vermenigvuldigen. Wat is de oplossing van de vergelijking? We moeten x vrijmaken:

$$\begin{array}{r}(5+300p)x=500\\ x=\frac{500}{5+300p}\end{array}$$

Dat is alles. Nu volstaat het om de prijs per pagina te kennen en we rekenen uit hoeveel boeken we krijgen. Als de prijs per pagina één cent zou zijn, hebben we na invullen van p:

$$x=\frac{500}{5+300\cdot 0,01}=\frac{500}{5+3}=\frac{500}{8}\approx 62$$

We zouden 62 boeken kopen. Dat is al best mooi.

De algemene vergelijking met een parameter

Bij een algemene vergelijking met een parameter proberen we uit te zoeken welke oplossing de vergelijking heeft, afhankelijk van de waarde van de parameter. Een voorbeeld van zo'n vergelijking kan zijn:

$$(2p+2)x-6=0$$

Eerst zoeken we uit wanneer de onbekende x uit zo'n vergelijking verdwijnt. Dat gebeurt als de coëfficiënt voor de onbekende gelijk is aan nul, dus als 2p + 2 = 0. We lossen deze vergelijking op en krijgen:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Als de parameter p gelijk is aan min één, valt de onbekende x uit de vergelijking weg en krijgen we de vorm: −6 = 0. Deze vergelijking heeft geen enkele oplossing.

Nu berekenen we nog de oplossing voor het geval p ≠ − 1. We berekenen de oplossing op de gewone manier, alleen krijgen we geen “definitieve” oplossing maar een oplossing die van de parameter p afhangt. We maken x vrij:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Dit is het eindresultaat. Als p ≠ − 1, is de oplossing van de vergelijking gelijk aan de breuk 3/(p + 1).