Lineare Gleichung mit Parameter

Eine lineare Gleichung kann einen Parameter enthalten, den wir üblicherweise mit p bezeichnen. Unser Ziel ist dann, durch eine Fallunterscheidung herauszufinden, welche Lösung die lineare Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter p hat.

Motivation

Versuche, die folgende Aufgabe zu lösen: Du hast einen Roman mit dem Titel „Wie Rumpelstilzchen und Schneewittchen den Wassermann aus dem Wald vertrieben“ geschrieben und möchtest ihn als Buch drucken lassen und Bekannten schenken. Dafür hast du 1.000 € zur Verfügung. Der Preis ist folgender: Die Grundgebühr beträgt zehn Euro pro Buch und zusätzlich zahlt man zehn Cent für jede Seite. Dein Roman hat 300 Seiten. Wie viele Bücher kannst du dir leisten?

Das ist eine einfache Aufgabe zu linearen Gleichungen. Die Gleichung stellen wir so auf: Die Unbekannte x steht für die Anzahl der Bücher, die wir uns leisten können. Wir erhalten also die Gleichung: (10 + 30)x = 1.000. Der Term in der Klammer stellt den Preis eines Buches dar (10 ist die Grundgebühr, 30 der Preis für die Seiten). Wir lösen die Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}(10+30)x& =& 1.000\\ 40x& =& 1.000\\ x& =& \frac{1.000}{40}\\ x& =& 25\end{array}$$

Wir können uns 25 Bücher leisten. Allerdings ist der Preis pro Seite zu hoch, wir senken ihn auf 0,08 Euro. Wie viele Bücher bekommen wir jetzt? Wir stellen wieder die Gleichung auf: (10 + 300 · 0,08)x = 1.000 und lösen sie:

$$\begin{array}{rcl}(10+300\cdot 0,08)x& =& 1.000\\ (10+24)x& =& 1.000\\ 34x& =& 1.000\\ x& =& \frac{1.000}{34}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Wir können 29 Bücher kaufen. Ehrlich gesagt könnten wir bei einer so großen Seitenzahl vielleicht einen kleinen Rabatt pro Seite verlangen, oder? Vielleicht nur 6 Cent, 0,06 Euro? Warum nicht? Dann berechnen wir, wie viele Bücher wir bekommen.

Du ahnst sicher, dass wir den Preis so bis ins Unendliche ändern könnten. Wie lösen wir das elegant? Wir lösen es mit einem Parameter, mit einem weiteren Buchstaben, der den Preis für eine Seite unseres Buches darstellt. Diesen Parameter bezeichnen wir mit dem Buchstaben p. Um ihn einzuschränken, sagen wir, dass sich der Preis pro Seite im Intervall ]0; 0,1] Euro bewegt. Er wird nicht null sein, umsonst druckt uns das niemand, und niemand wird teurer sein als zehn Cent pro Seite. Wie sieht die Gleichung dann aus?

$$(10+300p)x=1.000$$

Das passt zu unserer Vorstellung vom Preis – zehn Euro sind die Grundgebühr, die sich nicht ändert. Und den Preis für 300 Seiten berechnen wir, indem wir den Preis pro Seite, also den Parameter p, mit dreihundert multiplizieren. Wie lautet die Lösung der Gleichung? Wir müssen nach x auflösen:

$$\begin{array}{r}(10+300p)x=1.000\\ x=\frac{1.000}{10+300p}\end{array}$$

Das ist alles. Jetzt genügt es, den Preis pro Seite zu kennen, und wir berechnen, wie viele Bücher wir bekommen. Wäre der Preis pro Seite zwei Cent, haben wir nach dem Einsetzen für p:

$$x=\frac{1.000}{10+300\cdot 0,02}=\frac{1.000}{10+6}=\frac{1.000}{16}\approx 62$$

Wir würden uns 62 Bücher kaufen. Das ist schon ganz schön.

Allgemeine Gleichung mit Parameter

Bei einer allgemeinen Gleichung mit Parameter versuchen wir herauszufinden, welche Lösung die Gleichung in Abhängigkeit vom Wert des Parameters hat. Ein Beispiel für eine solche Gleichung kann sein:

$$(2p+2)x-6=0$$

Zuerst finden wir heraus, wann die Unbekannte x aus einer solchen Gleichung verschwindet. Das passiert, wenn der Koeffizient vor der Unbekannten null ist, d. h. wenn 2p + 2 = 0. Wir lösen diese Gleichung und erhalten:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Ist der Parameter p gleich minus eins, verschwindet die Unbekannte x aus der Gleichung und wir erhalten die Gleichung: −6 = 0. Diese Gleichung hat keine Lösung.

Nun berechnen wir noch die Lösung für den Fall p ≠ − 1. Die Lösung berechnen wir klassisch, wir erhalten nur keine „endgültige“ Lösung, sondern eine vom Parameter p abhängige Lösung. Wir lösen nach x auf:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Das ist das Endergebnis. Für p ≠ − 1 ist die Lösung der Gleichung gleich dem Bruch 3/(p + 1).