Ecuación de primer grado con parámetro

Una ecuación de primer grado puede contener un parámetro, que solemos designar con p. Nuestro objetivo es entonces discutir qué solución tiene la ecuación de primer grado en función del parámetro p.

Motivación

Intenta resolver el siguiente problema: has escrito una novela, «Cómo Caperucita y Pulgarcito echaron al lobo del bosque», y quieres mandarla imprimir como libro para regalársela a tus conocidos. Dispones de 400 €. El precio es el siguiente: una tarifa básica de 4 € por libro y, además, se pagan 4 céntimos por cada página. Tu novela tiene 300 páginas. ¿Cuántos libros puedes permitirte?

Este es un problema sencillo de ecuaciones de primer grado. Construimos la ecuación así: la incógnita x representará el número de libros que podemos conseguir. Obtenemos, pues, la ecuación: (4 + 300 · 0,04)x = 400. La expresión del paréntesis representa el precio de un libro (4 es la tarifa básica y 300 · 0,04, el precio de las páginas). Resolvemos la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot 0,04)x& =& 400\\ 16x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{16}\\ x& =& 25\end{array}$$

Podemos permitirnos comprar 25 libros. Sin embargo, el precio por página es demasiado alto; lo reducimos a 0,032 € (3,2 céntimos). ¿Cuántos libros conseguimos ahora? Volvemos a construir la ecuación: (4 + 300 · 0,032)x = 400 y la resolvemos:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot \mathrm{0,032})x& =& 400\\ (4+9,6)x& =& 400\\ 13,6x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{13,6}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Podemos comprar 29 libros. A decir verdad, con un número de páginas tan elevado quizá podríamos pedir un pequeño descuento por página, ¿no? ¿Quizá solo 2,4 céntimos, 0,024 €? Pues venga. Calculemos cuántos libros conseguimos.

Seguramente intuyes que así podríamos cambiar el precio hasta el infinito. ¿Cómo lo resolvemos de una forma elegante? Lo resolvemos con un parámetro, con otra letrita que represente el precio de una página de nuestro libro. Este parámetro lo designamos con la letra p. Para acotarlo, digamos que el precio por página se moverá en el intervalo (0; 0,04] euros. No será cero, nadie nos va a imprimir gratis, y nadie cobrará más de cuatro céntimos por página. ¿Cómo quedará entonces la ecuación?

$$(4+300p)x=400$$

Encaja con nuestra idea del precio: los 4 € son la tarifa básica, que no cambia. Y el precio de las 300 páginas lo calculamos multiplicando el precio por página, es decir, el parámetro p, por trescientos. ¿Cuál será la solución de la ecuación? Tenemos que despejar x:

$$\begin{array}{r}(4+300p)x=400\\ x=\frac{400}{4+300p}\end{array}$$

Eso es todo. Ahora nos basta con conocer el precio por página y calculamos cuántos libros conseguimos. Si el precio por página fuera de 0,008 € (0,8 céntimos), al sustituir p tenemos:

$$x=\frac{400}{4+300\cdot \mathrm{0,008}}=\frac{400}{4+2,4}=\frac{400}{6,4}\approx 62$$

Compraríamos 62 libros. Eso ya está bastante bien.

Ecuación general con parámetro

En una ecuación general con parámetro intentamos averiguar qué solución tiene la ecuación en función del valor del parámetro. Un ejemplo de una ecuación así puede ser:

$$(2p+2)x-6=0$$

Primero averiguamos cuándo desaparece la incógnita x de la ecuación. Ocurre cuando el coeficiente de la incógnita es igual a cero, es decir, cuando 2p + 2 = 0. Resolvemos esta ecuación y obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Si el parámetro p es igual a menos uno, la incógnita x desaparece de la ecuación y obtenemos la ecuación: −6 = 0. Esta ecuación no tiene solución.

Ahora calculamos también la solución para el caso p ≠ − 1. La solución se calcula como siempre, solo que no obtenemos una solución «final», sino una solución que depende del parámetro p. Despejamos x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Este es el resultado final. Si p ≠ − 1, la solución de la ecuación es igual a la fracción 3/(p + 1).