Trigonometrik Denklemler

Trigonometrik denklemler, içinde bir trigonometrik fonksiyon bulunan denklemlerdir; yani sinüs, kosinüs, tanjant ya da kotanjant içerirler.

Temel Trigonometrik Denklem

sin x = 0 denklemini ele alalım. Bu denklem hangi x değerleri için doğrudur? Sinüs ne zaman sıfıra eşit olur? Önce grafiğe bakalım:

sin x oldukça sık sıfıra eşit oluyor. Örneğin −π, 0, π, 2π değerlerinde ve daha birçok değerde. Sinüs periyodik bir fonksiyon olduğu için denklemin çözümleri arasında düzenli aralıklar vardır; bu örnekte aralıkların uzunluğu π’dir. Bu yüzden denklemin tüm çözümlerinin kümesini, adına ÇK diyelim, şöyle tanımlayarak yazabiliriz:

$$\text{ÇK}=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Yani çözümler, K bir tam sayı olmak üzere π sayısının tüm K katlarıdır. Böylece sin x = 0 denkleminin tüm çözümlerinin kümesini belirlemiş olduk.

Sinüs ve kosinüsün görüntü kümesinin [−1, 1] aralığı olduğunu hatırlayalım. Bu yüzden sin x = 2 denkleminin çözümü yoktur: sin x ifadesinin 1’den büyük bir değer alacağı bir x bulamayız. 3 · sin x = 2 denkleminin ise elbette çözümü vardır, çünkü ifadenin tamamını 3’e bölersek sağ tarafta 1’den küçük bir sayı kalır. Bu durumda sin x = 2/3 denkleminin köklerini ararız.

Basit Bir Örneğin Çözümü

Basit trigonometrik denklemleri şöyle çözeriz: Değeri örneğin grafikten ya da birim çemberden okuruz, sonra periyodu bulup sonuca ekleriz. Örnek: Şu denklemi çözelim.

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Sinüs fonksiyonunun grafiği yukarıda var; eğrinin $\frac{1}{2}$ değerini ne zaman aldığına bakalım. Bunun 1/6π ve 5/6π noktalarında olduğunu görürüz. Trigonometrik fonksiyonların özel açılardaki değerlerini ezberlemeni önemle öneririm; onlar olmadan grafiğe bakmak bile sana pek yardımcı olmaz.

Şimdi tüm çözümlerin kümesini nasıl kuracağımızı bilmek için periyodu belirlememiz gerekiyor. Sinüs fonksiyonunun periyodu 2π’dir — grafiğe bakarsan fonksiyonun her 2π’de bir yinelenmeye başladığını görürsün.

Denklemin bir çözümü 1/6π ise, K bir tam sayı olmak üzere 1/6π + 2Kπ biçimindeki her sayı da denklemin çözümü olmalıdır, çünkü sinüs fonksiyonu bu noktada aynı fonksiyon değerini alır. Buradaki 2K yalnızca çift tam sayıları istediğimizi gösterir. K yerine herhangi bir tam sayı yazıp 2 ile çarparsan çift sayı elde edersin. İkinci kök olan 5/6π için de durum tamamen aynıdır. 5/6π, 5/6π + 14π ve 5/6π − 82π noktalarında sin x fonksiyonu aynı değeri alır; bu yüzden 5/6π + 2Kπ biçimindeki tüm sayılar denklemin çözümüdür.

Sonuç olan ÇK kümesini yazalım; bu küme, önceki iki sonucun birleşimi olacaktır:

$$\text{ÇK}=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Çözümü grafik olarak sin x fonksiyonunun (kırmızı grafik) ve $y=\frac{1}{2}$ fonksiyonunun (yeşil grafik) kesişimi olarak gösterebiliriz.

Örneğin K yerine K = 0 yazarsak şu çözümleri elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Yani x₁ = 1/6π ve x₂ = 5/6π. Şekilde bunlara B ve C noktaları karşılık gelir, çünkü bu noktaların apsisi tam olarak sırasıyla 1/6π ve 5/6π’dir. K = 1 yazarsak D ve E noktalarını elde ederiz.

Değişken Değiştirme

Fonksiyonun içinde daha karmaşık bir ifade varsa değişken değiştirme, yani yerine başka bir şey yazma yöntemini kullanabiliriz. Örneğin sin 2x = 1 denkleminin çözümünü bulmak istersek a = 2x yazarız (değişken değiştirme yaparız) ve bundan sonra önceki bölümde gösterdiğimiz gibi sin a = 1 denklemiyle devam ederiz. Değişken değiştirme genellikle şöyle yapılır: Fonksiyonun içindeki ifadeyi, bu örnekte 2x’i, alırız ve onun yerine başka bir bilinmeyen yazarız. Ona istediğimiz adı verebiliriz; burada a adını seçtik. Rahatça q = 2x ya da portakal = 2x değişken değiştirmesini de yapıp sinportakal = 1 yazabilirdik.

Böylece değişken değiştirme, çözmekte olduğumuz ifadeyi basitleştirir. a ifadesinin aslında 2x’e eşit olduğuyla daha sonra ilgileneceğiz.

Şimdi a bilinmeyen olmak üzere sin a = 1 denklemini çözüyoruz. Sinüsün ne zaman 1’e eşit olduğunu arıyoruz. Sinüsün π/2 + 2Kπ değerinde 1’e eşit olduğunu buluruz. Yani sin a = 1 denkleminin kökleri şu kümenin elemanlarıdır:

$$\text{ÇK}=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Son olarak değişken değiştirmeyi hatırlamamız ve geri almamız gerekiyor. sin a = 1 denkleminin çözümlerinin, önceki ÇK kümesinin elemanları olduğunu biliyoruz. Ama biz başka bir denklemin, sin 2x = 1 denkleminin çözümlerini istiyoruz. Bu arada a = 2x olduğunu da biliyoruz.

ÇK çözüm kümesinden belirli bir çözüm alalım; örneğin K = 1 için a = π/2 + 2π çözümünü elde ederiz. Bu noktada sin a = 1 denkleminin çözümü vardır. a = 2x olduğundan aynı zamanda 2x = π/2 + 2π de sağlanır (yalnızca a yerine 2x yazdık).

Ama bizi 2x ilgilendirmiyor, bizi x’in değeri ilgilendiriyor; bu yüzden denklemin tamamını 2’ye böleriz. Böylece x = π/4 + π denklemini elde ederiz. Böylece sin 2x = 1 denkleminin belirli bir çözümünü bulmuş olduk.

Tüm çözümleri elde etmek istiyorsak bu işlemi ÇK kümesinin bütün elemanlarına uygulamamız gerekir. Bunun için denklemi şöyle kurarız:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

ve x’i yalnız bırakırız; yani denklemin tamamını 2’ye böleriz:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Çözüm budur. Şimdi bunu yeni bir ÇK_x kümesi olarak küme biçiminde yazalım:

$${\text{ÇK}}_x=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Çözümün doğruluğunu yine grafikle kontrol edebiliriz. Kırmızı grafik sin 2x fonksiyonunun, yeşil grafik y = 1 fonksiyonunun grafiğidir.

K yerine K = 0 yazarsak x = π/4 elde ederiz; bu C noktasını gösterir. K = 2 yazarsak x = π/4 + 2π elde ederiz; bu da E noktasını gösterir.

Formüller

Trigonometrik denklemlerle işlem yaparken çeşitli formüller sık sık kullanılır ve bunları bilmen gerekir. Bazıları temel, bazıları daha karmaşıktır. Trigonometrik formüller ayrı bir sayfaya taşındı, oraya bak.

Örnekler

1. sin(3x − π/2) = 0 denklemini çöz.

   Basit bir değişken değiştirme kullanırız: a = 3x − π/2 yazıp sin a = 0 denklemini çözeriz. Sinüsün a = Kπ için sıfıra eşit olduğunu zaten biliyoruz. Değişken değiştirmeyi geri alırız ve denklemi çözeriz:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Önce π/2’yi sağ tarafa geçiririz; yani denkleme π/2 ekleriz:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Şimdi denklemi 3’e böleriz:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Sonuç, şöyle tanımlanan ÇK₁ kümesidir:

   $${\text{ÇK}}_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Yine şekil:

   

   K = 1 için x = π/3 + π/6 = π/2 buluruz; bu E noktasıdır.

2. cos²x − sin x = 1 denklemini çöz.

   İlk olarak formülü kullanıp cos² x ifadesini 1 − sin² x olarak yazarız. Denklemde yerine koyunca şunu elde ederiz:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Şimdi sin x’i ortak çarpan parantezine alırız:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Denklemin sol tarafını çarpım biçimine getirdik ve sağ tarafta sıfır var. Çarpanlardan en az biri sıfır olduğunda sol tarafın tamamı sıfır olacağından sin x = 0 ve sin(x) + 1 = 0 denklemlerini ayrı ayrı çözeriz.

   sin x = 0 denklemini zaten birkaç kez çözdük; çözümler K bir tam sayı olmak üzere Kπ biçimindeki x değerleridir.

   İkinci denklemi, sin(x) + 1 = 0 denklemini, sin(x) = −1 denklemine çeviririz. Sinüs, 3/2π + 2Kπ değerleri için −1’e eşittir.

   Sonuç olan ÇK₂ kümesinin tüm elemanlarını birleşimle elde ederiz.

   $${\text{ÇK}}_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Şekil:

   

   A, C, D ve F noktalarının apsisinin π’nin katı olduğunu görürüz; dolayısıyla bu noktaları yukarıdaki birleşimin sağdaki kümesi tanımlar. Birleşimin soldaki kümesinde K yerine K = 0 yazarsak x = 3π/2 elde ederiz; bu E noktasına karşılık gelir. K = −1 yazarsak x = 3π/2 − 2π = −π/2 elde ederiz; bu da B noktasına karşılık gelir.

3. cos² x − sin²x + cos x = 0 denklemini çöz.

   İlk adımda sin²x = 1 − cos²x formülünü uygularız ve sinüsün karesini yerine yazarız:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   Sonraki adımda terimleri toplarız:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Son olarak a = cos x değişken değiştirmesini yaparız.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Bunu artık sıradan bir ikinci dereceden denklem olarak çözeriz. Sonuçlar:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Sonunda değişken değiştirmeyi geri alırız ve cos x = −1 ile $\cos x=\frac{1}{2}$ denklem çiftini çözeriz; elde edilen kümeleri birleştiririz. Bu artık kolaydır ve yukarıda zaten çözdük.

4. sin²x − cos²x = 1 denklemini çöz.

   İlk olarak bilinen formülü uygularız ve kosinüsü sinüs cinsinden yazarız. Şunu elde ederiz:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   2’ye böleriz ve 1 çıkarırız:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Şimdi a² − b² = (a − b)(a + b) formülünü uygularız:

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   İki ifadenin çarpımı, ifadelerden en az biri sıfır olduğunda sıfırdır. sin x = 1 ve sin x = −1 olduğu değerleri zaten biliyoruz. Trigonometrik denklemin çözümü şudur:

   $${\text{ÇK}}_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Şekil: