Équation du premier degré à paramètre

Une équation du premier degré peut contenir un paramètre, que l’on note généralement p. Notre objectif est alors de discuter, selon la valeur du paramètre p, des solutions de l’équation.

Motivation

Essaie de résoudre le problème suivant : tu as écrit un roman intitulé « L’Aventure de la forêt enchantée » et tu veux le faire imprimer en livre pour l’offrir à tes proches. Tu disposes pour cela de 100 €. Le tarif est le suivant : des frais de base de 1 € par livre, et on paie en plus 1 centime pour chaque page. Ton roman compte 300 pages. Combien de livres peux-tu te permettre de faire imprimer ?

C’est un problème simple d’équation du premier degré. Mettons l’équation en place en comptant tout en centimes (100 € = 10 000 centimes) : l’inconnue x représente le nombre de livres que l’on peut se payer. On obtient donc l’équation : (100 + 300)x = 10 000. L’expression entre parenthèses représente le prix d’un livre en centimes (100 est la base, 300 le prix des pages). Résolvons l’équation :

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& 10000\\ 400x& =& 10000\\ x& =& \frac{10000}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

On peut donc se permettre d’acheter 25 livres. Toutefois, le prix par page est trop élevé : baissons-le à 0,8 centime. Combien de livres obtient-on maintenant ? Établissons à nouveau l’équation : (100 + 300 · 0,8)x = 10 000, et résolvons-la :

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0,8)x& =& 10000\\ (100+240)x& =& 10000\\ 340x& =& 10000\\ x& =& \frac{10000}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

On peut donc acheter 29 livres. À vrai dire, pour un nombre de pages aussi important, on pourrait peut-être demander une petite remise par page, non ? Peut-être seulement 0,6 centime ? Mais oui. Calculons donc combien de livres on obtient.

Tu le devines sans doute : on pourrait faire varier le prix ainsi à l’infini. Comment procéder élégamment ? En utilisant un paramètre, une lettre supplémentaire qui représentera le prix d’une page de notre livre. Notons ce paramètre p. Pour le borner, disons que le prix par page varie dans l’intervalle ]0 ; 1] centime. Il ne sera pas nul : personne ne l’imprimera gratuitement, et personne ne le vendra plus cher qu’un centime la page. Comment s’écrit alors l’équation ?

$$(100+300p)x=10000$$

Cela correspond à notre idée du prix : les cent centimes de base ne changent pas. Et le prix des 300 pages s’obtient en multipliant le prix par page, c’est-à-dire le paramètre p, par trois cents. Quelle sera la solution de l’équation ? Il faut isoler x :

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=10000\\ x=\frac{10000}{100+300p}\end{array}$$

C’est tout. Il nous suffit maintenant de connaître le prix d’une page pour calculer le nombre de livres. Si le prix d’une page était de deux dixièmes de centime, on obtient après substitution de p :

$$x=\frac{10000}{100+300\cdot 0,2}=\frac{10000}{100+60}=\frac{10000}{160}\approx 62$$

On pourrait donc acheter 62 livres. Pas mal du tout !

Équation à paramètre : cas général

Dans le cas général d’une équation à paramètre, on cherche à déterminer les solutions de l’équation en fonction de la valeur du paramètre. Un exemple d’une telle équation est :

$$(2p+2)x-6=0$$

Commençons par déterminer quand l’inconnue x disparaît de cette équation. Cela se produit lorsque le coefficient devant l’inconnue est nul, c’est-à-dire lorsque 2p + 2 = 0. Résolvons cette équation :

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Lorsque le paramètre p vaut moins un, l’inconnue x disparaît de l’équation et l’on obtient la forme −6 = 0. Cette équation n’a aucune solution.

Calculons maintenant la solution dans le cas où p ≠ − 1. On la détermine de manière classique, sauf qu’on n’obtient pas une solution « finale », mais une solution dépendant du paramètre p. Isolons x :

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Voilà le résultat final. Lorsque p ≠ − 1, la solution de l’équation est égale à la fraction 3/(p + 1).