Jakolasku

Lukujen jakolasku on kertolaskun käänteistoimitus. Samalla jakolasku on hyvä huumorin lähde, koska kuten kaikki tietävät, nollalla ei voi jakaa, sillä vihkosi syttyisi tuleen.

Mitä lukujen jakolasku on

Jakolaskua voi ajatella esimerkiksi niin, että jokin suuri kokonaisuus jaetaan yhtä suuriin pienempiin osiin. Voimme ajatella isää, jonka pitää sahata 100 cm pitkä lauta viiteen yhtä suureen osaan. Kuinka suuria yksittäiset osat ovat?

Voimme edetä myös toisin päin: jos laskemme yhteen kaikkien viiden sahatun palan pituudet, tulokseksi täytyy saada takaisin luku 100. Mikä luku täyttää tämän? Se on luku 20, koska 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Yhteenlaskun sijasta voimme käyttää myös kertolaskua. Voimme kysyä, mikä luku antaa viidellä kerrottuna sata. Taas luku 20, koska 5 · 20 = 100.

Graafisesti sen voisi esittää niin, että jana, jonka pituus on 100, jaetaan viiteen yhtä pitkään osaan:

Kun haluamme jakaa luvun 100 luvulla 5, selvitämme, ”montako kertaa luku viisi mahtuu lukuun sata”. Jakolasku kirjoitetaan joko vinoviivalla: 100 / 5 tai kaksoispisteellä: 100 : 5. Kahden luvun jakolaskun tulos on osamäärä. Esimerkeissämme luku 20 on lukujen 100 ja 5 osamäärä. Vasemmalla oleva luku on jaettava ja oikealla oleva jakaja. Jakolaskun voi kirjoittaa myös murtoluvun avulla: lausekkeen 100 / 5 sijasta voimme kirjoittaa $\frac{100}{5}$. Yhteenveto nimityksistä:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a on jaettava,
• b on jakaja,
• c on osamäärä.

Määritelmä kertolaskun avulla

Osamäärän voi määritellä helpoimmin kertolaskun avulla. Otetaan esimerkiksi näiden lukujen osamäärä: 35 / 7. Mikä tulos on? Etsimme sellaista lukua, joka kerrottuna luvulla 7 antaa luvun 35. Jos jakaisimme 48 / 8, etsisimme sellaista lukua, joka kerrottuna luvulla 8 antaisi luvun 48.

Tulos 35 / 7 on siis luku 5, koska 7 · 5 = 35. Tulos 48 / 8 on luku 6, koska 8 · 6 = 48.

Jos yleisesti jaamme a / b, tulos on luku c, jolle pätee b · c = a.

Vaikka kaikki esimerkit näytettiin luonnollisilla luvuilla, kertolaskun avulla annetun määritelmän ansiosta voimme jakaa myös mitä tahansa muita lukuja. Voimme esimerkiksi löytää osamäärän −85,76 / 6,7 etsimällä luvun x, jolle pätee 6,7 · x = −85,76. Se pätee, kun x = −12,8.

Nollan voi jakaa toisella luvulla

Nollan voi jakaa jollakin luvulla, tämä on kelvollinen lauseke: 0 / 15. Sanomme tällä periaatteessa, että haluamme jakaa nollan 15 yhtä suureen osaan. Sen voi kuvitella niin, että meillä ei ole yhtään piirakkaa ja tämän piirakan, jota meillä ei ole, haluamme jakaa 15 osaan: kuinka suuria yksittäiset osat ovat? Ne ovat nollan kokoisia, koska meillä ei yksinkertaisesti ole yhtään piirakkaa. Tai kuvittele, että lompakossasi on nolla euroa ja haluat jakaa nämä nolla euroa kolmen lapsen kesken. Kuinka paljon kukin lapsi saa? Ei yhtään mitään, koska sinulla ei yksinkertaisesti ole mitään. Siksi 0 / 15 = 0.

Nollan voi jakaa toisella luvulla, mutta toista lukua ei voi jakaa nollalla. Tämä lauseke ei kelpaa: 8 / 0.

Miksi nollalla ei sitten voi jakaa?

Nollalla ei voi jakaa, koska yhdestoista käsky kieltää sen.

Mutta on myös painavampia syitä. Tarkastellaan toistaiseksi tapausta, jossa jaettava on nollasta poikkeava: jakolasku on muotoa a / 0, missä a ≠ 0. Luetellaan kaksi syytä:

1. Pysytään vertauksessa, jossa kokonaisuus jaetaan pienempiin, yhtä suuriin osiin. Meillä on 15 kaikkein hirvittävintä hirviötä. Nyt haluamme jakaa ne nollan lapsen kesken. Kuinka monta hirviötä kukin lapsi saa?

Häh???

Kyllä, luet tehtävänannon oikein, ja kyllä, siinä ei ole järkeä. Emme voi kysyä, montako hirviötä kukin lapsi sai, kun meillä ei ollut yhtään lasta, jolle hirviöt olisi annettu. Siksi myöskään nollalla jakaminen ei ole mielekästä, ja siksi sanomme, että lauseke x / 0 on määrittelemätön.

2. Otimme jakolaskun käyttöön kertolaskun avulla. Kun yritämme jakaa nollalla 15 / 0, etsimme jotakin lukua x, jolle pätee x · 0 = 15. Mutta mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on nolla, emme koskaan löydä lukua x, jolle tämä yhtälö olisi mielekäs.

Entä osamäärä 0/0?

Se on määrittelemätön samoin kuin x / 0. Syyt:

Tällä kertaa meillä on nolla kaikkein hirvittävintä hirviötä, jotka haluamme jakaa nollan lapsen kesken. Tämäkin vaatimus on järjetön.

Jakolaskun määritelmän mukaan, kun jaamme 0 / 0, etsimme sellaista lukua x, jolle pätee x · 0 = 0. Ratkaisu löytyisi, tai tarkemmin: mikä tahansa reaaliluku on tämän yhtälön ratkaisu. Sijoitimmepa x:n paikalle 4, 1 tai π, yhtälö toteutuu. Tietenkään ei voi hyväksyä, että jakolaskun tulos olisi kokonainen reaalilukujen joukko, siinä ei ole mieltä.

Meidän pitäisi valita koko joukosta yksi tietty luku ja sanoa, että juuri tämä luku on jakolaskun 0 / 0 tulos. Mutta mikä? Pitäisikö sen olla yksi? Kahdeksan? Nolla? Miinus yksi? Ja miksi? Esitetään perustelut nollalle ja ykköselle:

1. Tiedämme, että jos meillä on murtoluku muotoa x / x, tämä murtoluku on yksi. Esimerkiksi 7 / 7 = 1 tai 3 / 3 = 1. Tästä voisi päätellä, että 0 / 0 pitäisi määritellä niin, että 0 / 0 = 1.
2. Katsotaan tätä jonoa, jonka murtoluvut ovat varmasti kelvollisia. Jokaisessa niistä jaamme nollan luvulla, joka lähestyy nollaa yhä enemmän:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Näemme, että jaammepa kuinka lähellä nollaa olevalla luvulla tahansa, osamääräksi saadaan edelleen nolla. Tästä voisi päätellä, että 0 / 0 = 0.

Nämä ovat molemmat päteviä perusteluja sille, miten osamäärän 0 / 0 voisi määritellä. Mutta kumpi niistä on parempi? Lopulta, vaikka valitsisimme toisen ja julistaisimme sen ainoaksi päteväksi, päätyisimme silti ristiriitaan matematiikan muiden osien kanssa.

Siksi nollalla jakaminen on jätetty mieluummin määrittelemättömäksi.

Lopullinen peruste nollalla jakamista vastaan

Jos edelliset perustelut eivät riittäneet, ehkä sinut vakuuttaa seuraava valokuvadokumentti tapauksesta, jossa joku todella yritti jakaa nollalla: