Деление на числа

Делението на числа е обратно действие на умножението на числа. Същевременно делението е добър източник на хумор, защото, както всеки знае, не можем да делим на нула, тъй като би ни изгоряла тетрадката.

Какво е деление на числа

Делението можем да си представим на примера с разделянето на голямо цяло на по-малки равни части. Да речем, че татко трябва да разреже дъска с дължина 100 cm на пет равни части. Колко дълги ще са отделните части?

Можем да постъпим обратно – ако съберем дължините на всичките пет отрязани части, трябва да получим отново числото 100. Кое число отговаря на това условие? Числото 20, защото 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Вместо събиране можем да използваме и умножение. Можем да попитаме кое число, умножено с пет, дава сто? Отново числото 20, защото 5 · 20 = 100.

Графично можем да го изразим като разделяне на отсечка с дължина 100 на пет равни по дължина части:

Когато искаме да разделим числото 100 на числото 5, установяваме „колко пъти се побира числото пет в числото сто“. Делението записваме или с наклонена черта: 100 / 5, или с двоеточие: 100 : 5. Резултатът от делението на две числа е частно. В нашите примери числото 20 е частното на числата 100 и 5. Числото отляво се нарича делимо, числото отдясно – делител. Делението можем да запишем и с дроб, вместо 100 / 5 можем да напишем $\frac{100}{5}$. Обобщение на названията:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a се нарича делимо,
• b се нарича делител,
• c се нарича частно.

Дефиниция чрез умножение

Частното най-лесно можем да дефинираме чрез умножение. За пример да вземем частното на тези числа: 35 / 7. Какъв ще е резултатът? Търсим такова число, което, умножено със 7, да даде числото 35. Ако делим 48 / 8, ще търсим такова число, което, умножено с 8, да даде числото 48.

Резултатът от 35 / 7 е числото 5, защото 7 · 5 = 35. Резултатът от 48 / 8 е числото 6, защото 8 · 6 = 48.

В общия случай, ако делим a / b, резултатът е числото c, за което е изпълнено b · c = a.

Макар да показахме всички примери с естествени числа, благодарение на дефиницията чрез умножение можем да делим и всякакви други числа. Можем например да намерим частното −85,76 / 6,7, като намерим числото x, за което е изпълнено 6,7 · x = −85,76. Това е изпълнено за x = −12,8.

Нулата можем да я делим на друго число

Нулата можем да я разделим на някакво число, това е валиден израз: 0 / 15. По същество казваме, че искаме да разделим нулата на 15 равни части. Можем да си го представим така: нямаме никаква торта и тази торта, която нямаме, искаме да я разделим на 15 части – колко големи ще са отделните части? Ще са нулеви, защото просто нямаме никаква торта. Или си представи, че в портмонето ти има нула евро и искаш да разделиш тези нула евро между три деца. Колко ще получи всяко дете? Нищо, защото просто нямаш нищо. Затова 0 / 15 = 0.

Нулата можем да я делим на друго число, но не можем да делим друго число на нула. Този израз е невалиден: 8 / 0.

Но защо не можем да делим на нула?

На нула не можем да делим, защото ни го забранява единайсетата заповед.

Има обаче и по-убедителни причини. Засега ще се интересуваме от случая, когато делимото е различно от нула – делението е във вида a / 0, където a ≠ 0. Ще изброим две причини:

1. Нека останем при аналогията с разделянето на цяло на по-малки равни части. Имаме 15 от най-свирепите покемони. Сега искаме да ги разделим между нула деца. Колко покемона ще получи всяко дете?

Ъъъ???

Да, четеш правилно условието и да, то няма смисъл. Не можем да питаме колко покемона е получило всяко дете, когато не сме имали никакво дете, на което да ги дадем. Затова и делението на нула няма смисъл и казваме, че изразът x / 0 е недефиниран.

2. Делението го въведохме чрез умножение. Когато се опитваме да делим на нула 15 / 0, търсим някакво число x, за което е изпълнено x · 0 = 15. Но каквото и да умножим с нула, получаваме нула, никога няма да намерим x, за което това уравнение да има смисъл.

А какво е частното 0/0?

То е недефинирано точно като x / 0. Причини:

Този път имаме нула от най-свирепите покемони, които искаме да разделим между нула деца. Това отново е безсмислено искане.

Според дефиницията на делението, когато делим 0 / 0, търсим такова число x, за което е изпълнено x · 0 = 0. Решение ще намерим, или по-точно: всяко реално число е решение на това уравнение. Независимо дали вместо x заместим 4, 1 или π, уравнението ще е изпълнено. Разбира се, недопустимо е резултатът от делението да бъде цялото множество на реалните числа, това няма смисъл.

Трябва да изберем от цялото множество едно конкретно число и да кажем, че именно това число е резултатът от делението 0 / 0. Но кое? Да е равно на едно? На осем? На нула? На минус едно? И защо? Ще опитаме да изложим аргументи за нулата и за единицата:

1. Знаем, че ако имаме дроб във вида x / x, тази дроб е равна на едно. Например 7 / 7 = 1 или 3 / 3 = 1. От това бихме могли да изведем, че 0 / 0 трябва да дефинираме така, че да е изпълнено 0 / 0 = 1.
2. Нека погледнем тази редица от безспорно валидни дроби. Във всяка от тях делим нулата на число, което все повече и повече се приближава до нулата:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Виждаме, че колкото и близо до нулата да е числото, на което делим, пак получаваме като резултат нула. От това бихме могли да изведем, че 0 / 0 = 0.

Това са два валидни аргумента как бихме могли да дефинираме частното 0 / 0. Но кой от тях е по-добър? В крайна сметка, дори да изберем единия и да го обявим за единствено валидния, пак ще стигнем до противоречие с други части на математиката.

Затова делението на нула предпочитаме да оставим недефинирано.

Решаващ аргумент срещу делението на нула

Ако предишните аргументи не ти стигат, може би ще те убеди следната фотодокументация на случай, при който някой наистина се е опитал да дели на нула: