Limită finită la infinit

Limita unei funcții este una dintre cele mai importante noțiuni ale analizei matematice. Descrie comportamentul unei funcții în vecinătatea unui anumit punct, ceea ce ne permite, de exemplu, să definim continuitatea funcției. Limita ne ajută să înțelegem comportamentul funcției chiar și în punctele în care ea nu este deloc definită.

Limită finită într-un punct infinit

Situația este asemănătoare cu limitele șirurilor. Căutăm ce limită are funcția când ne apropiem de infinit. Limita poate fi fie finită, fie infinită. Începem cu limita finită.

Fie ∞ un punct de acumulare al domeniului de definiție al funcției f. Atunci L ∈ ℝ este limita funcției în punctul ∞ dacă

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

și în punctul −∞ dacă

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Ce ne spune definiția? Că dacă alegem o vecinătate de rază ϵ în jurul limitei L la care ne gândim (adică pe axa Oy), putem găsi mereu pe axa Ox un punct A astfel încât, dacă luăm orice punct x din dreapta lui A, adică x>A, să avem |f(x) − L| < ϵ, adică toate valorile funcției să fie la o distanță mai mică decât ϵ de limita L.

Să luăm funcția f(x) = (2/x) + 1. Graficul:

Se vede că, dacă valoarea x se apropie de infinit, valoarea funcției f(x) se apropie de unu. Alegem deci L = 1. Acum demonstrăm că L = 1 este într-adevăr limita acestei funcții la plus infinit. Mai întâi încercăm. Alegem un epsilon, de exemplu $ϵ=\frac{1}{2}$. Acum încercăm să găsim un A ∈ ℝ astfel încât pentru toți x mai mari decât A, valoarea funcției să fie la o distanță mai mică decât ϵ de L. Schițăm în desen:

Faptul că valoarea funcției f(x) este la o distanță mai mică decât ϵ de punctul L înseamnă că curba care descrie graficul funcției se află între liniile roșii. Trebuie să găsim acum pe axa Ox pragul A de la care această condiție este îndeplinită. Nu trebuie să fie neapărat cel mai mic prag posibil, așa că putem alege, de exemplu, A = 6.

Vedem că după pragul A curba care descrie graficul se află în întregime între liniile roșii, care marchează distanța ϵ față de L. Acum am demonstrat asta pentru un singur ϵ concret; pentru a demonstra că L = 1 este într-adevăr limita, trebuie să putem demonstra pentru toți ϵ > 0.

Acum trebuie să aflăm pentru ce A este adevărată această relație:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

După înlocuire:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Cei doi de unu se reduc:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Mai departe putem presupune că luăm doar x pozitivi (ne interesează valorile x care se apropie de plus infinit), așa că putem elimina modulul:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Înmulțim cu x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Împărțim la ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Prin transformări am aflat că x trebuie să fie mai mare decât 2/ϵ. Așadar, dacă pentru A alegem un număr mai mare decât 2/ϵ, am găsit pragul pe care îl căutam.

În încercarea precedentă am ales $ϵ=\frac{1}{2}$, deci pentru A ar trebui să alegem un număr mai mare decât $2:\frac{1}{2}=4$. Noi am ales A = 6, ceea ce este în regulă.