Ändligt gränsvärde i en oändlig punkt

Gränsvärdet av en funktion är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Det beskriver hur en funktion beter sig nära en viss punkt, och med hjälp av det kan vi till exempel definiera kontinuitet. Gränsvärdet hjälper oss att förstå hur funktionen beter sig även på ställen där den inte alls är definierad.

Ändligt gränsvärde i en oändlig punkt

Den här situationen liknar gränsvärden av talföljder. Vi undersöker vilket gränsvärde funktionen har när vi närmar oss oändligheten. Gränsvärdet kan vara antingen ändligt eller oändligt. Vi börjar med det ändliga gränsvärdet.

Låt ∞ vara en hopningspunkt till definitionsmängden för funktionen f. Då är L ∈ ℝ gränsvärdet av funktionen i punkten ∞ om

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

och i punkten −∞ om

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Vad säger definitionen oss? Att om vi väljer någon ϵ-omgivning kring det gränsvärde L vi har i åtanke (alltså på y-axeln) kan vi alltid hitta en punkt A på x-axeln sådan att för varje punkt x till höger om A, dvs. x>A, gäller |f(x) − L| < ϵ, alltså att alla funktionsvärden ligger närmare gränsvärdet L än ϵ.

Vi tar funktionen f(x) = (2/x) + 1. Grafen:

Vi ser att när vi låter x närma sig oändligheten närmar sig funktionsvärdet f(x) talet ett. Vi väljer alltså L = 1. Nu bevisar vi att L = 1 verkligen är gränsvärdet av den här funktionen i plus oändligheten. Först prövar vi. Vi väljer något epsilon, till exempel $ϵ=\frac{1}{2}$. Nu försöker vi hitta ett A ∈ ℝ sådant att för alla x som är större än A ligger funktionsvärdet närmare L än ϵ. Vi skissar det i en figur:

Att funktionsvärdet f(x) ligger närmare punkten L än ϵ betyder att kurvan som beskriver grafen av funktionen ligger mellan de röda linjerna. Nu måste vi hitta gränsen A på x-axeln från vilken det här villkoret är uppfyllt. Det behöver inte vara den minsta möjliga gränsen, så vi kan till exempel välja A = 6.

Vi ser att kurvan som beskriver grafen till höger om gränsen A ligger helt mellan de röda linjerna, som markerar ϵ-avståndet från L. Nu har vi bevisat det för ett enda bestämt ϵ. För att bevisa att L = 1 verkligen är gränsvärdet måste vi kunna bevisa det för alla ϵ > 0.

Nu måste vi ta reda på för vilka A det här sambandet gäller:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Efter insättning:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Ettorna tar ut varandra:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Vidare kan vi anta att vi bara tar positiva x (vi är intresserade av värden på x som närmar sig plus oändligheten), och då kan vi ta bort absolutbeloppet:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Vi multiplicerar med x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Vi dividerar med ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Genom omformningarna har vi kommit fram till att x måste vara större än 2/ϵ. Om vi alltså väljer något tal som är större än 2/ϵ som A har vi hittat den gräns vi sökte.

I det förra försöket valde vi $ϵ=\frac{1}{2}$, så vi ska välja ett tal som är större än $2/\frac{1}{2}=4$ som A. Vi valde A = 6, och det är i sin ordning.