Äärellinen raja-arvo äärettömässä pisteessä

Funktion raja-arvo on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Se kuvaa jonkin funktion käyttäytymistä tietyn pisteen ympäristössä, minkä avulla voidaan esimerkiksi määritellä funktion jatkuvuus. Funktion raja-arvo auttaa ymmärtämään funktion käyttäytymistä myös sellaisissa kohdissa, joissa sitä ei ole lainkaan määritelty.

Äärellinen raja-arvo äärettömässä pisteessä

Tämä tilanne on samankaltainen kuin lukujonojen raja-arvot. Haetaan, mikä raja-arvo funktiolla on, kun lähestytään ääretöntä. Raja-arvo voi olla joko äärellinen tai ääretön. Aloitetaan äärellisestä raja-arvosta.

Olkoon ∞ funktion f määrittelyjoukon M kasautumispiste. Silloin L ∈ ℝ on funktion raja-arvo pisteessä ∞, jos

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in M)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

ja pisteessä −∞, jos

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in M)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Mitä määritelmä kertoo? Että kun valitaan jokin ϵ-ympäristö aiotun raja-arvon L ympärille (siis y-akselilla), voidaan aina löytää x-akselilta sellainen piste A, että kun otetaan mikä tahansa piste x pisteen A oikealta puolelta, eli x>A, pätee |f(x) − L| < ϵ, eli kaikki funktion arvot ovat raja-arvosta L vähemmän kuin ϵ:n päässä.

Otetaan funktio f(x) = (2/x) + 1. Kuvaaja:

Nähdään, että kun arvo x lähestyy ääretöntä, funktion arvo f(x) lähestyy ykköstä. Valitaan siis L = 1. Osoitetaan nyt, että L = 1 on todella tämän funktion raja-arvo plus äärettömyydessä. Ensin kokeillaan. Valitaan jokin epsilon, esimerkiksi $ϵ=\frac{1}{2}$. Yritetään nyt löytää sellainen A ∈ ℝ, että kaikilla lukua A suuremmilla x funktion arvo on luvusta L vähemmän kuin ϵ:n päässä. Piirretään se kuvaan:

Se, että funktion arvo f(x) on pisteestä L vähemmän kuin ϵ:n päässä, tarkoittaa, että funktion kuvaajaa esittävä käyrä on punaisten viivojen välissä. Nyt täytyy löytää x-akselilta raja A, josta alkaen tämä ehto toteutuu. Sen ei välttämättä tarvitse olla pienin mahdollinen raja, joten voidaan valita esimerkiksi A = 6.

Nähdään, että kuvaajaa esittävä käyrä on rajan A jälkeen kokonaan punaisten viivojen välissä, jotka merkitsevät ϵ-etäisyyttä pisteestä L. Nyt tämä on osoitettu yhdelle tietylle ϵ:lle. Jotta voitaisiin osoittaa, että L = 1 on todella raja-arvo, se täytyy pystyä osoittamaan kaikilla ϵ > 0.

Nyt täytyy selvittää, millä A:n arvoilla tämä ehto pätee:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Sijoittamisen jälkeen:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Ykköset voidaan vähentää pois:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Lisäksi voidaan olettaa, että otetaan vain positiiviset x (kiinnostavat x:n arvot, jotka lähestyvät plus ääretöntä), jolloin itseisarvo voidaan poistaa:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Kerrotaan x:llä:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Jaetaan ϵ:lla:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Muokkauksista saatiin selville, että x:n täytyy olla suurempi kuin 2/ϵ. Jos siis A:ksi valitaan jokin luku, joka on suurempi kuin 2/ϵ, löydetään etsitty raja.

Edellisessä kokeilussa valittiin $ϵ=\frac{1}{2}$, joten A:ksi pitäisi valita luku, joka on suurempi kuin $2/\frac{1}{2}=4$. Valittiin A = 6, mikä on kunnossa.