Límite finito en el infinito

El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Describe el comportamiento de una función en un entorno de un punto determinado, gracias a lo cual podemos definir, por ejemplo, la continuidad de una función. El límite nos ayuda a entender cómo se comporta una función incluso en los puntos en los que ni siquiera está definida.

Límite finito en el infinito

Esta situación es parecida a los límites de sucesiones. Buscamos qué límite tiene la función cuando nos acercamos al infinito. El límite puede ser finito o infinito. Empezamos con el límite finito.

Sea ∞ un punto de acumulación del dominio de la función f. Entonces L ∈ ℝ es el límite de la función en el punto ∞ si

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

y en el punto −∞ si

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

¿Qué nos dice la definición? Que si elegimos algún entorno de radio ϵ alrededor del límite L que tenemos en mente (es decir, en el eje y), siempre somos capaces de encontrar en el eje x un punto A tal que, si tomamos cualquier punto x a la derecha de A, es decir, x>A, se cumplirá |f(x) − L| < ϵ; o sea, todos los valores de la función distarán del límite L menos que ϵ.

Tomemos la función f(x) = (2/x) + 1. Gráfica:

Se ve que, cuando x se acerca al infinito, el valor de la función f(x) se acerca a uno. Elegimos, pues, L = 1. Ahora demostremos que L = 1 es realmente el límite de esta función en más infinito. Primero hagamos una prueba. Elegimos algún épsilon, por ejemplo $ϵ=\frac{1}{2}$. Ahora intentamos encontrar un A ∈ ℝ tal que, para todos los x mayores que A, el valor de la función diste de L menos que ϵ. Lo esbozamos en una figura:

Que el valor de la función f(x) diste del punto L menos que ϵ significa que la curva que describe la gráfica de la función se encuentra entre esas líneas rojas. Ahora debemos encontrar en el eje x la cota A a partir de la cual se cumple esta condición. No tiene por qué ser necesariamente la menor cota posible, así que podemos elegir, por ejemplo, A = 6.

Vemos que la curva que describe la gráfica queda, más allá de la cota A, enteramente entre las líneas rojas que marcan la distancia ϵ a L. Hemos demostrado esto para un ϵ concreto; para demostrar que L = 1 es realmente el límite, debemos ser capaces de demostrarlo para todo ϵ > 0.

Ahora debemos averiguar para qué A se cumple esta relación:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Tras sustituir:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Los unos se anulan:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Además, podemos suponer que tomaremos solo x positivos (nos interesan los valores de x que se acercan a más infinito), con lo que podemos quitar el valor absoluto:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Multiplicamos por x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Dividimos entre ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Con estas transformaciones hemos averiguado que x debe ser mayor que 2/ϵ. Así que, si para A elegimos un número mayor que 2/ϵ, habremos encontrado la cota que buscábamos.

En el intento anterior elegimos $ϵ=\frac{1}{2}$, de modo que para A deberíamos elegir un número mayor que $2/\frac{1}{2}=4$. Nosotros elegimos A = 6, que está bien.