Крайна граница в безкрайна точка

Границата на функция е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Тя описва поведението на дадена функция в околност на определена точка, благодарение на което можем например да определим непрекъснатост на функция. Границата на функция ни помага да разберем поведението на функцията и на места, в които изобщо не е определена.

Крайна граница в безкрайна точка

Тази ситуация е подобна на границите на редици. Търсим каква граница има функцията, когато се приближаваме към безкрайността. Границата може да бъде крайна или безкрайна. Започваме с крайната граница.

Нека ∞ е точка на сгъстяване на дефиниционното множество на функцията f. Тогава L ∈ ℝ е граница на функцията в точката ∞, ако

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

и в точката −∞, ако

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Какво ни казва определението? Че ако изберем някоя ϵ-околност около предполагаемата граница L (т.е. върху оста y), винаги можем да намерим върху оста x такава точка A, че когато вземем коя да е точка x вдясно от A, т.е. x>A, да е изпълнено |f(x) − L| < ϵ, т.е. всички стойности на функцията да са на разстояние от границата L, по-малко от ϵ.

Да вземем функцията f(x) = (2/x) + 1. Графика:

Вижда се, че когато стойността на x се приближава към безкрайност, стойността на функцията f(x) се приближава към единица. Затова избираме L = 1. Сега ще докажем, че L = 1 наистина е граница на тази функция в плюс безкрайност. Първо ще го изпробваме. Избираме някое епсилон, например $ϵ=\frac{1}{2}$. Сега опитваме да намерим такова A ∈ ℝ, че за всяко x, по-голямо от A, стойността на функцията да е на разстояние от L, по-малко от ϵ. Скицираме го на чертеж:

Това, че стойността на функцията f(x) е на разстояние от точката L, по-малко от ϵ, означава, че кривата, която описва графиката на функцията, се намира между червените линии. Сега трябва да намерим праг A върху оста x, от който нататък това условие е изпълнено. Не е нужно да е непременно най-малкият възможен праг, затова можем да изберем например A = 6.

Виждаме, че кривата, която описва графиката, след прага A се намира изцяло между червените линии, които означават ϵ-разстоянието от L. Сега го доказахме за едно конкретно ϵ, а за да докажем, че L = 1 наистина е граница, трябва да можем да го докажем за всяко ϵ > 0.

Сега трябва да разберем за кои A е изпълнена тази зависимост:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

След заместване:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Можем да извадим единиците:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Освен това можем да предположим, че ще вземаме само положителни x (интересуват ни стойностите на x, които се приближават към плюс безкрайност), с което можем да премахнем абсолютната стойност:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Умножаваме по x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Разделяме на ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

С преобразуванията установихме, че x трябва да е по-голямо от 2/ϵ. Така че ако за A изберем някое число, по-голямо от 2/ϵ, ще намерим прага, който търсехме.

В предишния опит избрахме $ϵ=\frac{1}{2}$, така че за A трябва да изберем число, по-голямо от $2/\frac{1}{2}=4$. Ние избрахме A = 6, което е в ред.