Limite finito all’infinito

Il limite di una funzione è uno dei concetti più importanti dell’analisi matematica. Descrive il comportamento di una funzione vicino a un certo punto e grazie a esso possiamo definire, per esempio, la continuità di una funzione. Il limite ci aiuta a capire come si comporta la funzione anche nei punti in cui non è affatto definita.

Limite finito all’infinito

Questa situazione è simile ai limiti di una successione. Cerchiamo il limite della funzione quando ci avviciniamo all’infinito. Il limite può essere finito oppure infinito. Cominciamo con il limite finito.

Sia ∞ un punto di accumulazione del dominio della funzione f. Allora L ∈ ℝ è il limite della funzione nel punto ∞ se

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

e nel punto −∞ se

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Che cosa ci dice la definizione? Che se scegliamo un intorno di raggio ϵ attorno al limite L che abbiamo in mente (cioè sull’asse y), siamo sempre in grado di trovare sull’asse x un punto A tale che, preso un qualsiasi punto x a destra di A, cioè x>A, valga |f(x) − L| < ϵ, ovvero tutti i valori della funzione distano dal limite L meno di ϵ.

Prendiamo la funzione f(x) = (2/x) + 1. Grafico:

Si vede che, quando il valore di x si avvicina all’infinito, il valore della funzione f(x) si avvicina a uno. Scegliamo quindi L = 1. Ora dimostriamo che L = 1 è davvero il limite di questa funzione verso più infinito. Prima facciamo una prova. Scegliamo un epsilon, per esempio $ϵ=\frac{1}{2}$. Ora proviamo a trovare un A ∈ ℝ tale che per tutti gli x maggiori di A il valore della funzione disti da L meno di ϵ. Rappresentiamolo in una figura:

Il fatto che il valore della funzione f(x) disti dal punto L meno di ϵ significa che la curva che descrive il grafico della funzione si trova tra le linee rosse. Ora dobbiamo trovare sull’asse x la soglia A a partire dalla quale questa condizione è soddisfatta. Non deve essere per forza la soglia più piccola possibile, quindi possiamo scegliere per esempio A = 6.

Vediamo che oltre la soglia A la curva del grafico si trova tutta tra le linee rosse, che indicano la distanza ϵ da L. Ora lo abbiamo dimostrato per un solo ϵ; per dimostrare che L = 1 è davvero il limite, dobbiamo essere in grado di dimostrarlo per ogni ϵ > 0.

Dobbiamo quindi scoprire per quali A vale questa relazione:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Dopo la sostituzione:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

I due 1 si elidono:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Possiamo poi supporre di prendere solo gli x positivi (ci interessano i valori di x che si avvicinano a più infinito), così possiamo eliminare il valore assoluto:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Moltiplichiamo per x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Dividiamo per ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Con questi passaggi abbiamo scoperto che x deve essere maggiore di 2/ϵ. Quindi, se come A scegliamo un numero maggiore di 2/ϵ, troviamo la soglia che cercavamo.

Nella prova precedente avevamo scelto $ϵ=\frac{1}{2}$, quindi come A dovremmo scegliere un numero maggiore di $2/\frac{1}{2}=4$. Noi abbiamo scelto A = 6, che va bene.