Eigentlicher Grenzwert an einer uneigentlichen Stelle

Der Grenzwert einer Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe der Analysis. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Umgebung einer bestimmten Stelle, wodurch wir zum Beispiel die Stetigkeit einer Funktion definieren können. Der Grenzwert hilft uns, das Verhalten einer Funktion auch an Stellen zu verstehen, an denen sie überhaupt nicht definiert ist.

Eigentlicher Grenzwert an einer uneigentlichen Stelle

Diese Situation ist ähnlich wie bei den Grenzwerten von Folgen. Wir suchen den Grenzwert der Funktion, wenn wir uns dem Unendlichen nähern. Der Grenzwert kann entweder eigentlich oder uneigentlich sein. Wir beginnen mit dem eigentlichen Grenzwert.

Es sei ∞ ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs der Funktion f. Dann ist L ∈ ℝ der Grenzwert der Funktion an der Stelle ∞, wenn

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

und an der Stelle −∞, wenn

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Was sagt uns die Definition? Wenn wir eine ϵ-Umgebung um den von uns vermuteten Grenzwert L wählen (also auf der y-Achse), dann können wir auf der x-Achse immer einen Punkt A finden, sodass für jeden Punkt x rechts von A, also x>A, gilt |f(x) − L| < ϵ, d. h. alle Funktionswerte sind vom Grenzwert L weniger als ϵ entfernt.

Nehmen wir die Funktion f(x) = (2/x) + 1. Graph:

Man sieht, dass sich der Funktionswert f(x) der Eins nähert, wenn wir uns mit dem Wert x dem Unendlichen nähern. Wir wählen also L = 1. Nun beweisen wir, dass L = 1 wirklich der Grenzwert dieser Funktion im Plus-Unendlichen ist. Zuerst probieren wir es aus. Wir wählen ein Epsilon, zum Beispiel $ϵ=\frac{1}{2}$. Nun versuchen wir, ein A ∈ ℝ zu finden, sodass für alle x, die größer als A sind, der Funktionswert von L weniger als ϵ entfernt ist. Wir skizzieren es im Bild:

Dass der Funktionswert f(x) vom Punkt L weniger als ϵ entfernt ist, bedeutet, dass die Kurve, die den Graphen der Funktion beschreibt, zwischen den roten Linien liegt. Wir müssen nun die Schranke A auf der x-Achse finden, ab der diese Bedingung erfüllt ist. Es muss nicht unbedingt die kleinstmögliche Schranke sein, wir können also zum Beispiel A = 6 wählen.

Wir sehen, dass die Kurve, die den Graphen beschreibt, hinter der Schranke A ganz zwischen den roten Linien liegt, die den ϵ-Abstand von L markieren. Jetzt haben wir es für ein konkretes ϵ bewiesen; um zu beweisen, dass L = 1 tatsächlich der Grenzwert ist, müssen wir es für alle ϵ > 0 beweisen können.

Nun müssen wir herausfinden, für welche A diese Beziehung gilt:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Nach dem Einsetzen:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Wir können die Einsen subtrahieren:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Weiter können wir annehmen, dass wir nur positive x betrachten (uns interessieren Werte x, die sich plus unendlich nähern), wodurch wir den Betrag weglassen können:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Wir multiplizieren mit x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Wir dividieren durch ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Durch die Umformungen haben wir herausgefunden, dass x größer als 2/ϵ sein muss. Wählen wir also für A eine Zahl, die größer als 2/ϵ ist, finden wir die gesuchte Schranke.

Im vorherigen Versuch haben wir $ϵ=\frac{1}{2}$ gewählt, also sollten wir für A eine Zahl wählen, die größer als $2/\frac{1}{2}=4$ ist. Wir haben A = 6 gewählt, das ist in Ordnung.