Limite finito no infinito

O limite de uma função é um dos conceitos mais importantes da análise matemática. Ele descreve o comportamento de uma função na vizinhança de um determinado ponto, e graças a isso podemos definir, por exemplo, a continuidade de uma função. O limite de uma função nos ajuda a entender o comportamento da função até mesmo em lugares nos quais ela nem sequer está definida.

Limite finito no infinito

Essa situação é semelhante aos limites de sequências. Procuramos qual é o limite da função quando nos aproximamos do infinito. O limite pode ser finito ou infinito. Começamos pelo limite finito.

Seja ∞ um ponto de acumulação do domínio da função f. Então L ∈ ℝ é o limite da função no ponto ∞ se

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

e no ponto −∞ se

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

O que a definição nos diz? Que, se escolhemos uma vizinhança de raio ϵ em torno do limite L que pretendemos (isto é, no eixo y), então sempre somos capazes de encontrar no eixo x um ponto A tal que, se tomarmos qualquer ponto x à direita de A, ou seja, x>A, vale |f(x) − L| < ϵ, isto é, todos os valores da função estarão a uma distância do limite L menor que ϵ.

Tomemos a função f(x) = (2/x) + 1. Gráfico:

Vê-se que, se nos aproximamos do infinito com o valor de x, o valor da função f(x) se aproxima de um. Então escolhemos L = 1. Agora vamos demonstrar que L = 1 é realmente o limite dessa função em mais infinito. Primeiro vamos experimentar. Escolhemos algum épsilon, por exemplo $ϵ=\frac{1}{2}$. Agora tentamos encontrar um A ∈ ℝ tal que valha que, para todos os x maiores que A, o valor da função está a uma distância de L menor que ϵ. Esboçamos isso na figura:

Que o valor da função f(x) esteja a uma distância do ponto L menor que ϵ significa que a curva que descreve o gráfico da função se encontra entre aquelas linhas vermelhas. Agora precisamos encontrar no eixo x a cota A a partir da qual essa condição é satisfeita. Não precisa ser necessariamente a menor cota possível, então podemos escolher, por exemplo, A = 6.

Vemos que a curva que descreve o gráfico, depois da cota A, se encontra inteira entre as linhas vermelhas que marcam a distância ϵ de L. Agora demonstramos isso para um ϵ concreto; para demonstrar que L = 1 é realmente o limite, devemos ser capazes de demonstrá-lo para todos os ϵ > 0.

Agora precisamos descobrir para quais A vale esta relação:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Após a substituição:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Podemos cancelar os uns:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Além disso, podemos supor que tomaremos apenas x positivos (o que nos interessa são os valores de x que se aproximam de mais infinito), com o que podemos eliminar o valor absoluto:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Multiplicamos por x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Dividimos por ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Pelas transformações descobrimos que x deve ser maior que 2/ϵ. Assim, se escolhermos para A algum número maior que 2/ϵ, encontraremos a cota que procurávamos.

Na tentativa anterior escolhemos $ϵ=\frac{1}{2}$, então deveríamos escolher para A um número maior que $2/\frac{1}{2}=4$. Nós escolhemos A = 6, o que está certo.