Πεπερασμένο όριο στο άπειρο

Το όριο συνάρτησης είναι μία από τις σημαντικότερες έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Περιγράφει τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο και χάρη σε αυτό μπορούμε για παράδειγμα να ορίσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης. Το όριο συνάρτησης μας βοηθά να καταλάβουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης ακόμη και σε σημεία στα οποία δεν ορίζεται καθόλου.

Πεπερασμένο όριο στο άπειρο

Αυτή η περίπτωση μοιάζει με τα όρια ακολουθιών. Ψάχνουμε ποιο όριο έχει η συνάρτηση όταν πλησιάζουμε το άπειρο. Το όριο μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο. Ξεκινάμε με το πεπερασμένο όριο.

Έστω ότι το +∞ είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f. Τότε το L ∈ ℝ είναι όριο της συνάρτησης στο +∞, αν

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

και στο −∞ αν

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Τι μας λέει ο ορισμός; Ότι αν διαλέξουμε κάποια ϵ-περιοχή γύρω από το όριο L που έχουμε στο μυαλό μας (δηλαδή στον άξονα y), τότε μπορούμε πάντα να βρούμε στον άξονα x ένα σημείο A τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε σημείο x δεξιά του A, δηλαδή x>A, να ισχύει |f(x) − L| < ϵ, δηλαδή όλες οι τιμές της συνάρτησης να απέχουν από το όριο L λιγότερο από ϵ.

Πάρε τη συνάρτηση f(x) = (2/x) + 1. Γραφική παράσταση:

Φαίνεται ότι όσο το x πλησιάζει το άπειρο, η τιμή της συνάρτησης f(x) πλησιάζει το ένα. Διαλέγουμε λοιπόν L = 1. Τώρα θα αποδείξουμε ότι το L = 1 είναι πραγματικά το όριο αυτής της συνάρτησης στο συν άπειρο. Πρώτα θα το δοκιμάσουμε. Διαλέγουμε κάποιο έψιλον, για παράδειγμα $ϵ=\frac{1}{2}$. Τώρα δοκιμάζουμε να βρούμε τέτοιο A ∈ ℝ ώστε για όλα τα x που είναι μεγαλύτερα από το A η τιμή της συνάρτησης να απέχει από το L λιγότερο από ϵ. Το σχεδιάζουμε στο σχήμα:

Το ότι η τιμή της συνάρτησης f(x) απέχει από το σημείο L λιγότερο από ϵ σημαίνει ότι η καμπύλη που περιγράφει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται ανάμεσα σε αυτές τις κόκκινες γραμμές. Πρέπει τώρα να βρούμε το φράγμα A στον άξονα x, από το οποίο και μετά ικανοποιείται αυτή η συνθήκη. Δεν χρειάζεται να είναι απαραίτητα το μικρότερο δυνατό φράγμα, άρα μπορούμε να διαλέξουμε για παράδειγμα A = 6.

Βλέπουμε ότι η καμπύλη που περιγράφει τη γραφική παράσταση βρίσκεται μετά το φράγμα A ολόκληρη ανάμεσα στις κόκκινες γραμμές, που σημειώνουν την ϵ-απόσταση από το L. Τώρα το αποδείξαμε για ένα συγκεκριμένο ϵ, για να αποδείξουμε ότι το L = 1 είναι πράγματι όριο, πρέπει να μπορούμε να το αποδείξουμε για όλα τα ϵ > 0.

Τώρα πρέπει να βρούμε για ποια A ισχύει αυτή η σχέση:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Μετά την αντικατάσταση:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Οι μονάδες απαλείφονται:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Επιπλέον μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα παίρνουμε μόνο θετικά x (μας ενδιαφέρουν οι τιμές του x που πλησιάζουν το συν άπειρο), οπότε μπορούμε να αφαιρέσουμε την απόλυτη τιμή:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Πολλαπλασιάζουμε με x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Διαιρούμε με ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Με αυτούς τους μετασχηματισμούς βρήκαμε ότι το x πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 2/ϵ. Αν λοιπόν για A διαλέξουμε κάποιον αριθμό που είναι μεγαλύτερος από 2/ϵ, βρίσκουμε το φράγμα που ψάχναμε.

Στην προηγούμενη δοκιμή διαλέξαμε $ϵ=\frac{1}{2}$, οπότε για A πρέπει να διαλέξουμε αριθμό μεγαλύτερο από $2/\frac{1}{2}=4$. Εμείς διαλέξαμε A = 6, που είναι σωστό.