Limite finie en l’infini

La limite d’une fonction est l’une des notions les plus importantes de l’analyse. Elle décrit le comportement d’une fonction au voisinage d’un point, ce qui permet par exemple de définir la continuité d’une fonction. La limite nous aide à comprendre le comportement d’une fonction même aux endroits où elle n’est pas du tout définie.

Limite finie en l’infini

Cette situation ressemble aux limites des suites. On cherche quelle limite a la fonction quand on s’approche de l’infini. La limite peut être finie ou infinie. Commençons par la limite finie.

Soit ∞ un point d’accumulation de l’ensemble de définition de la fonction f. Alors L ∈ ℝ est la limite de la fonction en ∞ si

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

et en −∞ si

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Que nous dit la définition ? Que si l’on choisit un voisinage de rayon ϵ autour de la limite L que l’on envisage (donc sur l’axe des ordonnées), on est toujours capable de trouver sur l’axe des abscisses un point A tel que, pour tout point x à droite de A, c’est-à-dire x>A, on ait |f(x) − L| < ϵ, donc que toutes les images soient à une distance de la limite L inférieure à ϵ.

Prenons la fonction f(x) = (2/x) + 1. Courbe :

On voit que, lorsque x tend vers l’infini, la valeur f(x) se rapproche de un. Choisissons donc L = 1. Démontrons maintenant que L = 1 est bien la limite de cette fonction en plus l’infini. Faisons d’abord un essai. Choisissons un epsilon, par exemple $ϵ=\frac{1}{2}$. Essayons maintenant de trouver un A ∈ ℝ tel que, pour tous les x supérieurs à A, l’image soit à une distance de L inférieure à ϵ. Esquissons cela sur la figure :

Dire que l’image f(x) est à une distance de L inférieure à ϵ signifie que la courbe de la fonction se trouve entre ces traits rouges. Il faut maintenant trouver le seuil A sur l’axe des abscisses à partir duquel cette condition est vérifiée. Il n’est pas nécessaire que ce soit le plus petit seuil possible, donc on peut choisir par exemple A = 6.

On voit qu’au-delà du seuil A, la courbe se trouve tout entière entre les traits rouges, qui marquent la distance ϵ à L. Nous l’avons démontré pour un seul ϵ ; pour démontrer que L = 1 est vraiment la limite, il faut être capable de le démontrer pour tout ϵ > 0.

Il faut maintenant trouver pour quels A cette relation est vérifiée :

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Après substitution :

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Les 1 s’éliminent :

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

On peut ensuite supposer que l’on ne prend que des x strictement positifs (les valeurs de x qui nous intéressent tendent vers plus l’infini), ce qui permet de supprimer la valeur absolue :

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Multiplions par x :

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Divisons par ϵ :

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Par ces transformations, nous avons trouvé que x doit être supérieur à 2/ϵ. Donc si l’on choisit pour A un nombre supérieur à 2/ϵ, on trouve le seuil que l’on cherchait.

Dans l’essai précédent, nous avions choisi $ϵ=\frac{1}{2}$, donc il fallait choisir pour A un nombre supérieur à $2/\frac{1}{2}=4$. Nous avons choisi A = 6, ce qui convient.