Eindige limiet in een oneigenlijk punt

De limiet van een functie is een van de belangrijkste begrippen van de wiskundige analyse. Ze beschrijft het gedrag van een functie in de omgeving van een bepaald punt, waardoor we bijvoorbeeld de continuïteit van een functie kunnen definiëren. De limiet van een functie helpt ons het gedrag van een functie te begrijpen, ook op plekken waar ze helemaal niet gedefinieerd is.

Eindige limiet in een oneigenlijk punt

Deze situatie lijkt op de limieten van rijen. We zoeken welke limiet de functie heeft als we oneindig naderen. De limiet kan eindig of oneindig zijn. We beginnen met de eindige limiet.

Stel dat ∞ een ophopingspunt van het domein van de functie f is. Dan is L ∈ ℝ de limiet van de functie in het punt ∞ als

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

en in het punt −∞ als

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Wat zegt de definitie ons? Dat als we een ϵ-omgeving kiezen rond de limiet L die we in gedachten hebben (dus op de y-as), we op de x-as altijd zo'n punt A kunnen vinden dat voor elk punt x rechts van A, dus x>A, geldt |f(x) − L| < ϵ, dus alle functiewaarden liggen minder dan ϵ van de limiet L af.

Neem de functie f(x) = (2/x) + 1. De grafiek:

We zien dat als we met de waarde x naar oneindig gaan, de functiewaarde f(x) naar één gaat. We kiezen dus L = 1. Nu bewijzen we dat L = 1 echt de limiet van deze functie in plus oneindig is. Eerst proberen we het uit. We kiezen een epsilon, bijvoorbeeld $ϵ=\frac{1}{2}$. Nu proberen we zo'n A ∈ ℝ te vinden dat voor alle x die groter zijn dan A de functiewaarde minder dan ϵ van L af ligt. We schetsen het in een plaatje:

Dat de functiewaarde f(x) minder dan ϵ van het punt L af ligt, betekent dat de kromme die de grafiek van de functie beschrijft tussen die rode lijnen ligt. We moeten nu op de x-as de grens A vinden vanaf waar aan deze voorwaarde is voldaan. Dat hoeft niet per se de kleinst mogelijke grens te zijn, dus we kunnen bijvoorbeeld A = 6 kiezen.

We zien dat de kromme die de grafiek beschrijft voorbij de grens A helemaal tussen de rode lijnen ligt, die de ϵ-afstand tot L aangeven. Nu hebben we het voor één bepaalde ϵ laten zien. Om te bewijzen dat L = 1 echt de limiet is, moeten we het voor alle ϵ > 0 kunnen bewijzen.

Nu moeten we nagaan voor welke A deze relatie geldt:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Na invullen:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

De enen vallen tegen elkaar weg:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Verder kunnen we aannemen dat we alleen positieve x nemen (we zijn geïnteresseerd in waarden van x die plus oneindig naderen), waardoor we de absolute waarde kunnen weglaten:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

We vermenigvuldigen met x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

We delen door ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Met deze bewerkingen hebben we gevonden dat x groter moet zijn dan 2/ϵ. Als we dus voor A een getal kiezen dat groter is dan 2/ϵ, hebben we de grens gevonden die we zochten.

In de vorige poging kozen we $ϵ=\frac{1}{2}$, dus we zouden voor A een getal moeten kiezen dat groter is dan $2/\frac{1}{2}=4$. Wij kozen A = 6, en dat is prima.