Endelig grenseverdi i et uendelig punkt

Grenseverdien til en funksjon er et av de viktigste begrepene i analysen. Den beskriver hvordan en funksjon oppfører seg i nærheten av et bestemt punkt, og det lar oss for eksempel definere kontinuitet. Grenseverdien hjelper oss å forstå hvordan funksjonen oppfører seg også på steder der den ikke er definert i det hele tatt.

Endelig grenseverdi i et uendelig punkt

Denne situasjonen ligner på grenseverdier til følger. Vi leter etter grenseverdien til en funksjon når vi nærmer oss det uendelige. Grenseverdien kan være enten endelig eller uendelig. Vi begynner med den endelige.

La ∞ være et opphopningspunkt for definisjonsmengden til funksjonen f. Da er L ∈ ℝ grenseverdien til funksjonen i punktet ∞ hvis

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

og i punktet −∞ hvis

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Hva sier definisjonen oss? At hvis vi velger en ϵ-omegn rundt grenseverdien L vi har i tankene (altså på y-aksen), kan vi alltid finne et punkt A på x-aksen slik at hvis vi tar et hvilket som helst punkt x til høyre for A, altså x>A, gjelder |f(x) − L| < ϵ. Alle funksjonsverdiene ligger altså nærmere grenseverdien L enn ϵ.

Vi tar funksjonen f(x) = (2/x) + 1. Graf:

Vi ser at når x nærmer seg det uendelige, nærmer funksjonsverdien f(x) seg én. Vi velger derfor L = 1. Nå beviser vi at L = 1 virkelig er grenseverdien til denne funksjonen mot pluss uendelig. Først prøver vi oss fram. Vi velger et epsilon, for eksempel $ϵ=\frac{1}{2}$. Nå prøver vi å finne et A ∈ ℝ slik at funksjonsverdien for alle x som er større enn A, ligger nærmere L enn ϵ. Vi skisserer det i en figur:

At funksjonsverdien f(x) ligger nærmere punktet L enn ϵ, betyr at kurven som beskriver grafen til funksjonen, ligger mellom de røde linjene. Nå må vi finne en grense A på x-aksen som denne betingelsen er oppfylt fra. Det trenger ikke å være den minste mulige grensen, så vi kan for eksempel velge A = 6.

Vi ser at kurven som beskriver grafen, ligger helt mellom de røde linjene, som markerer ϵ-avstanden fra L, etter grensen A. Nå har vi vist det for ett bestemt ϵ. For å bevise at L = 1 virkelig er grenseverdien, må vi kunne bevise det for alle ϵ > 0.

Nå må vi finne ut for hvilke A denne sammenhengen gjelder:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Etter innsetting:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Vi kan trekke fra enerne:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Videre kan vi anta at vi bare tar positive x (vi er interessert i verdier av x som nærmer seg pluss uendelig), og da kan vi fjerne absoluttverdien:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Vi ganger med x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Vi deler på ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Med omformingene fant vi ut at x må være større enn 2/ϵ. Hvis vi velger for A et tall som er større enn 2/ϵ, har vi altså funnet grensen vi lette etter.

I det forrige forsøket valgte vi $ϵ=\frac{1}{2}$, så vi bør velge for A et tall som er større enn $2/\frac{1}{2}=4$. Vi valgte A = 6, og det er i orden.