Kolmion korkeusjana

Kolmion korkeusjana on jana. Janan yksi päätepiste on kolmion kärki ja toinen päätepiste on kolmion vastakkaisella sivulla oleva piste, ja itse korkeusjanan on oltava kohtisuorassa tätä sivua vastaan.

Teräväkulmainen kolmio

Parhaiten asia näkyy kuvasta:

Korkeusjana piirrettiin kärjestä C. Toinen piste on vastakkaisella sivulla AB (eli sivulla c), ja jana CP_c on kohtisuorassa sivua c vastaan. Piste P_c on korkeusjanan kantapiste; sivua c kutsutaan kannaksi. Kantapiste nimetään yleensä kirjaimella P ja alaindeksillä, jossa on se kärki, josta korkeusjana lähtee. Tässä tapauksessa se on kärki C.

Korkeusjana piirretään melko helposti: otat viivoittimen ja piirrät sivulle c kohtisuoran, joka kulkee juuri pisteen C kautta. Siinä kaikki.

Korkeusjanan voi piirtää kolmion jokaisesta kärjestä. Kaikki korkeusjanat leikkaavat toisensa pisteessä, jota kutsutaan ortokeskukseksi. Ortokeskus voi olla kolmion sisäpuolella, mutta ei tarvitse olla. Teräväkulmaisessa kolmiossa ortokeskus on kolmion sisäpuolella:

Punaisella on merkitty kolmion kaikki kolme korkeusjanaa. Huomaa, että jokainen korkeusjana on kohtisuorassa omaa sivuaan vastaan. Korkeusjanoja merkitsemme pienellä kirjaimella h ja alaindeksillä, johon laitamme sen kärjen merkinnän, josta korkeusjana lähtee. Janasta BP_b puhumme siis korkeusjanana h_b. Itse ortokeskus on merkitty vihreällä pisteellä H.

Tylppäkulmainen kolmio

Tylppäkulmaisessa kolmiossa on turvauduttava pieneen kikkaan. Ortokeskus syntyy kolmion ulkopuolelle, ja jotkin korkeusjanat eivät todellisuudessa voi leikata niitä sivuja, jotka niiden pitäisi leikata. Tämä ratkaistaan niin, että kolmion tarvittavia sivuja ”jatketaan”, jotta homma onnistuu. Katso taas kuvaa: Perustana on lihavoitu kolmio ABC. Tämä kolmio on tylppäkulmainen, kulma ACB on suurempi kuin 90 astetta. Kärjestä C lähtevä korkeusjana piirtyy mutkitta, mutta kärjestä B lähtevän kanssa tulee ongelma. Emme löydä sivua AC vastaan kohtisuoraa, joka leikkaisi sivun AC ja kulkisi kärjen B kautta. Se ratkaistaan niin, että muodostamme puolisuoran AC ja jatkamme sivua AC tarpeen mukaan. Kohtisuoraa etsimme tältä puolisuoralta. Siinä kohtisuora jo löytyy. Kohtisuoran kantapiste on vasta syntyneellä puolisuoralla. Samoin piirrämme jäljellä olevan korkeusjanan.

Nyt meillä on piirrettynä kaikki kolme kolmion korkeusjanaa. Ongelma on, etteivät nämä korkeusjanat koskaan leikanneet toisiaan eivätkä muodostaneet ortokeskusta. Sen saamme aikaan piirtämällä kolme uutta puolisuoraa korkeusjanojen suuntiin niin, että ne leikkaavat jossakin kolmion yläpuolella. Itse korkeusjanoja emme kuitenkaan muuta mitenkään.

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmaisessa kolmiossa se on yksinkertaisinta, koska kaksi korkeusjanaa yhtyy kahteen kolmion sivuun, nimittäin kateetteihin. Ortokeskus on silloin kärjessä, joka on hypotenuusan vastainen.

Korkeusjanan pituus

Joskus korkeusjanan pituus on laskettava. Lähdemme kuvasta, jossa on korkeusjana teräväkulmaisessa kolmiossa.

Siihen on merkitty korkeusjana h_c, joten yritämme laskea sen pituuden. Korkeusjana h_c on tietysti kohtisuorassa sivua AB vastaan, mitä voimme hyödyntää. Muodostamme uuden kolmion, jossa korkeusjana on helpompi laskea. Kolmio muodostetaan kärjistä B, C ja P_c. Kuvassa se on korostettu punaisella:

Nyt käytämme trigonometrisia funktioita. Tarvitsemme lisäksi kulman kärjessä B eli kulman β. Sen jälkeen on helppo soveltaa sinin määritelmää, joka ilmaisee vastaisen sivun suhteen hypotenuusaan. Vastainen sivu on tässä tapauksessa sivu h_c ja hypotenuusa on sivu CB. Siispä pätee:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Kulman β suuruus on likimain 53°8′ ja sivun BC pituus on 5. Sijoittamalla saamme:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Korkeusjanan h_c pituus on neljä.