Ύψος τριγώνου

Το ύψος του τριγώνου είναι ευθύγραμμο τμήμα. Το ένα άκρο του τμήματος είναι μια κορυφή του τριγώνου και το άλλο άκρο είναι ένα σημείο της απέναντι πλευράς του τριγώνου, ενώ το ίδιο το ύψος πρέπει να είναι κάθετο στην πλευρά αυτή.

Οξυγώνιο τρίγωνο

Το πιο καθαρό είναι να το δεις στο σχήμα:

Το ύψος το φέραμε από την κορυφή C. Το δεύτερο σημείο βρίσκεται στην απέναντι πλευρά AB (δηλαδή την πλευρά c) και το τμήμα CP_c είναι κάθετο στην πλευρά c. Το σημείο P_c λέγεται ίχνος του ύψους· την πλευρά c τη λέμε βάση. Το ίχνος το ονομάζουμε συνήθως με το γράμμα P και ως κάτω δείκτη την κορυφή από την οποία ξεκινά το ύψος. Σε αυτή την περίπτωση είναι η κορυφή C.

Το ύψος σχεδιάζεται αρκετά εύκολα: παίρνεις τον χάρακα και φέρνεις κάθετο στην πλευρά c έτσι ώστε η κάθετος αυτή να περνά ακριβώς από το σημείο C. Αυτό είναι όλο.

Ύψος μπορούμε να φέρουμε από κάθε κορυφή του τριγώνου. Όλα τα ύψη τέμνονται τότε σε ένα σημείο που λέγεται ορθόκεντρο. Το ορθόκεντρο μπορεί να βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο, αλλά μπορεί και όχι. Στην περίπτωση του οξυγώνιου τριγώνου το ορθόκεντρο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο:

Με κόκκινο φαίνονται και τα τρία ύψη του τριγώνου. Πρόσεξε ότι κάθε ύψος είναι κάθετο στην πλευρά του. Τα ύψη τα συμβολίζουμε με το μικρό γράμμα υ και ως κάτω δείκτη βάζουμε το σύμβολο της κορυφής από την οποία ξεκινά το ύψος. Στην περίπτωση του ύψους BP_b μιλάμε λοιπόν για το ύψος υ_b. Το ίδιο το ορθόκεντρο είναι σημειωμένο με το πράσινο σημείο H.

Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Στην περίπτωση του αμβλυγώνιου τριγώνου πρέπει να καταφύγεις σε ένα κόλπο. Το ορθόκεντρο προκύπτει έξω από το εσωτερικό του τριγώνου και ορισμένα ύψη στην πραγματικότητα δεν μπορούν να τέμνουν τις πλευρές που θα έπρεπε να τέμνουν. Αυτό λύνεται προεκτείνοντας τις ζητούμενες πλευρές του τριγώνου, ώστε απλώς να βγει το αποτέλεσμα. Κοίταξε πάλι το σχήμα: Αφετηρία είναι το τρίγωνο ABC με την έντονη γραμμή. Το τρίγωνο αυτό είναι αμβλυγώνιο, η γωνία ACB έχει μέτρο μεγαλύτερο από 90 μοίρες. Το ύψος από την κορυφή C το φέρνουμε χωρίς πρόβλημα, αλλά με το ύψος από την κορυφή B θα έχουμε πρόβλημα. Δεν θα βρούμε κάθετο στην πλευρά AC που να τέμνει και την πλευρά AC και να περνά από την κορυφή B. Το λύνουμε φέρνοντας την ημιευθεία AC και προεκτείνοντας έτσι την πλευρά AC όσο χρειάζεται. Την κάθετο τη ζητάμε πάνω σε αυτή την ημιευθεία. Εκεί πια θα βρούμε την κάθετο. Το ίχνος της καθέτου βρίσκεται στη νέα ημιευθεία που δημιουργήθηκε. Με τον ίδιο τρόπο φέρνουμε και το τελευταίο ύψος.

Τώρα έχουμε σχεδιασμένα και τα τρία ύψη του τριγώνου. Το πρόβλημα είναι ότι τα ύψη αυτά δεν τέμνονται ποτέ και έτσι δεν σχηματίζουν ορθόκεντρο. Αυτό το διορθώνουμε φέρνοντας τρεις νέες ημιευθείες στη διεύθυνση των υψών, ώστε κάπου πάνω από το τρίγωνο να τέμνονται. Τα ίδια τα ύψη όμως δεν τα αλλάζουμε καθόλου.

Ορθογώνιο τρίγωνο

Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι το πιο απλό, επειδή δύο ύψη συμπίπτουν με δύο πλευρές του τριγώνου, συγκεκριμένα με τις κάθετες πλευρές. Το ορθόκεντρο βρίσκεται τότε στην κορυφή που είναι απέναντι από την υποτείνουσα.

Μήκος του ύψους

Μερικές φορές χρειάζεται να υπολογίσουμε το μήκος του ύψους. Ξεκινάμε από το σχήμα για το ύψος σε οξυγώνιο τρίγωνο.

Έχουμε σημειώσει εκεί το ύψος υ_c, οπότε θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το μήκος του. Το ύψος υ_c είναι φυσικά κάθετο στην πλευρά AB, κάτι που μπορούμε να εκμεταλλευτούμε. Σχηματίζουμε ένα νέο τρίγωνο, στο οποίο το ύψος θα υπολογίζεται πιο εύκολα. Το τρίγωνο το σχηματίζουμε από τις κορυφές B, C και P_c. Στο σχήμα είναι τονισμένο με κόκκινο:

Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για αυτό χρειάζεται ακόμη να ξέρουμε τη γωνία στην κορυφή B, τη γωνία β. Μετά είναι μια απλή εφαρμογή του ημιτόνου, που εκφράζει τον λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Η απέναντι κάθετη πλευρά είναι σε αυτή την περίπτωση η πλευρά υ_c και υποτείνουσα είναι η πλευρά CB. Ισχύει λοιπόν:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )& =& \frac{|{\upsilon }_c|}{|BC|}\\ |{\upsilon }_c|& =& \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Η γωνία β έχει μέτρο περίπου 53°8′ και η πλευρά BC έχει μήκος 5. Μετά την αντικατάσταση παίρνουμε:

$$|{\upsilon }_c|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Το ύψος υ_c έχει μήκος τέσσερα.