Høyde i en trekant

Høyden i en trekant er et linjestykke. Det ene endepunktet av linjestykket er et hjørne i trekanten, og det andre endepunktet er et punkt på den motstående siden av trekanten, og selve høyden må stå vinkelrett på denne siden.

Spissvinklet trekant

Det sees best på en figur:

Vi trakk høyden fra hjørnet C. Det andre punktet ligger på den motstående siden AB (altså siden c), og linjestykket CP_c står vinkelrett på siden c. Punktet P_c kalles fotpunktet til høyden, og siden c kaller vi grunnlinjen. Fotpunktet navngir vi vanligvis med bokstaven P og en nedsenket indeks, der indeksen er hjørnet som høyden går ut fra. I dette tilfellet er det hjørnet C.

Det er ganske enkelt å tegne en høyde: Du tar linjalen og trekker en normal fra siden c slik at denne normalen går nøyaktig gjennom punktet C. Det er alt.

Vi kan trekke en høyde fra hvert hjørne i trekanten. Alle høydene skjærer hverandre i ett punkt som kalles ortosenteret. Ortosenteret kan ligge inni trekanten, men det trenger ikke. I en spissvinklet trekant ligger ortosenteret inni trekanten:

Med rødt er alle de tre høydene i trekanten markert. Legg merke til at hver høyde står vinkelrett på sin side. Høydene betegner vi med den lille bokstaven h med en nedsenket indeks, der vi setter inn betegnelsen på hjørnet som høyden går ut fra. For høyden BP_b snakker vi derfor om høyden h_b. Selve ortosenteret er markert med det grønne punktet H.

Stumpvinklet trekant

I en stumpvinklet trekant må du ty til et lite triks. Ortosenteret havner utenfor trekanten, og noen av høydene kan i virkeligheten ikke skjære de sidene de burde skjære. Dette løser vi ved å «forlenge» de nødvendige sidene i trekanten slik at det går opp. Se igjen på figuren: Utgangspunktet er den trekanten ABC som er framhevet med tykke streker. Denne trekanten er stumpvinklet, vinkelen ACB er større enn 90 grader. Høyden fra hjørnet C kan vi tegne uten problemer, men med høyden fra hjørnet B får vi et problem. Vi finner ingen normal på siden AC som går både gjennom siden AC og hjørnet B. Det løser vi ved å lage halvlinjen AC og forlenge siden AC så mye som trengs. Normalen leter vi etter på denne halvlinjen. Her finner vi nå normalen. Fotpunktet ligger på den nye halvlinjen. På samme måte tegner vi også den gjenværende høyden.

Nå har vi tegnet alle de tre høydene i trekanten. Problemet er at disse høydene aldri skar hverandre og dermed ikke dannet noe ortosenter. Det ordner vi ved å tegne tre nye halvlinjer i retning av høydene, slik at de skjærer hverandre et sted over trekanten. Selve høydene endrer vi ikke.

Rettvinklet trekant

I en rettvinklet trekant er det enklest, for to av høydene er sammenfallende med to av sidene i trekanten, nærmere bestemt katetene. Ortosenteret ligger da i hjørnet som er overfor hypotenusen.

Lengden av høyden

Av og til må vi regne ut lengden av en høyde. Vi tar utgangspunkt i figuren for høyden i en spissvinklet trekant.

Der har vi markert høyden h_c, så vi prøver å regne ut lengden av den. Høyden h_c står selvfølgelig vinkelrett på siden AB, og det kan vi utnytte. Vi lager en ny trekant der høyden blir lettere å regne ut. Trekanten lager vi av hjørnene B, C og P_c. På figuren er den framhevet med rødt:

Nå bruker vi trigonometriske funksjoner. Til det må vi også kjenne vinkelen ved hjørnet B, vinkelen β. Da er det en enkel anvendelse av sinus, som gir forholdet mellom den motstående siden og hypotenusen. Den motstående siden er i dette tilfellet siden h_c, og hypotenusen er siden CB. Dermed gjelder:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Vinkelen β er omtrent 53°8′, og siden BC har lengde 5. Når vi setter inn, får vi:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Høyden h_c har lengde fire.