Højde i en trekant

Højden i en trekant er et linjestykke. Det ene endepunkt af linjestykket er et hjørne i trekanten, og det andet endepunkt er et punkt på trekantens modstående side, hvor selve højden skal stå vinkelret på denne side.

Spidsvinklet trekant

Det ses bedst på en figur:

Vi har tegnet højden fra hjørnet C. Det andet punkt ligger på den modstående side AB (altså siden c), og linjestykket CP_c står vinkelret på siden c. Punktet P_c kaldes højdens fodpunkt; siden c kalder vi grundlinjen. Fodpunktet navngiver vi som regel med bogstavet P og et nedsænket indeks, hvor vi angiver det hjørne, højden udgår fra. I dette tilfælde er det hjørnet C.

Højden er forholdsvis let at tegne: du tager en lineal og tegner en vinkelret linje på siden c, så den går netop gennem punktet C. Det er alt.

Højden kan vi tegne fra hvert hjørne i trekanten. Alle højderne skærer så hinanden i et punkt, som kaldes ortocenteret. Ortocenteret kan ligge inden i trekanten, men behøver ikke. I en spidsvinklet trekant ligger ortocenteret inden i trekanten:

Alle tre højder i trekanten er markeret med rødt. Læg mærke til, at hver højde står vinkelret på sin side. Højderne betegner vi med det lille bogstav h og et nedsænket indeks, hvor vi angiver det hjørne, som højden udgår fra. Om højden BP_b taler vi derfor som højden h_b. Selve ortocenteret er markeret med det grønne punkt H.

Stumpvinklet trekant

I en stumpvinklet trekant må du ty til et lille trick. Ortocenteret opstår uden for trekantens indre, og nogle af højderne kan i virkeligheden ikke skære de sider, som de burde skære. Det løses ved at »forlænge« de ønskede sider i trekanten, så det bare går op. Se igen på figuren: Grundlaget er den fedt fremhævede trekant ABC. Denne trekant er stumpvinklet, vinklen ACB er større end 90 grader. Højden fra hjørnet C tegner vi uden problemer, men med højden fra hjørnet B får vi et problem. Vi finder ikke nogen vinkelret linje på siden AC, som både skærer siden AC og går gennem hjørnet B. Det løser vi ved at tegne halvlinjen AC og dermed forlænge siden AC, så meget det er nødvendigt. Den vinkelrette linje søger vi på denne halvlinje. Her kan vi finde den vinkelrette linje. Fodpunktet ligger på den nye halvlinje. Den resterende højde tegner vi på samme måde.

Nu har vi tegnet alle tre højder i trekanten. Problemet er, at disse højder aldrig har skåret hinanden og dermed ikke har dannet et ortocenter. Det klarer vi ved at tegne tre nye halvlinjer i højdernes retning, så de skærer hinanden et sted over trekanten. Selve højderne ændrer vi dog ikke.

Retvinklet trekant

I en retvinklet trekant er det enklest, fordi to af højderne falder sammen med to af trekantens sider, nemlig kateterne. Ortocenteret ligger så i det hjørne, der er over for hypotenusen.

Højdens længde

Nogle gange er der brug for at beregne højdens længde. Vi tager udgangspunkt i figuren for højden i en spidsvinklet trekant.

Vi har her markeret højden h_c, så vi prøver at beregne dens længde. Højden h_c står selvfølgelig vinkelret på siden AB, og det kan vi udnytte. Vi danner en ny trekant, hvor højden bliver lettere at beregne. Trekanten danner vi af hjørnerne B, C og P_c. På figuren er den fremhævet med rødt:

Nu bruger vi trigonometriske funktioner. Dertil skal vi desuden kende vinklen ved hjørnet B, vinklen β. Så er det en enkel anvendelse af sinus, som bestemmer forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen. Den modstående katete er i dette tilfælde siden h_c, hypotenusen er siden CB. Der gælder altså:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Vinklen β er cirka 53°8′, og siden BC har længden 5. Ved indsættelse får vi:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Højden h_c har længden fire.