Hoogtelijn van een driehoek

De hoogtelijn van een driehoek is een lijnstuk. Het ene eindpunt van het lijnstuk is een hoekpunt van de driehoek en het andere eindpunt is een punt op de overstaande zijde van de driehoek, waarbij de hoogtelijn zelf loodrecht op die zijde moet staan.

Scherphoekige driehoek

Het is het best te zien in een afbeelding:

We hebben de hoogtelijn vanuit hoekpunt C getrokken. Het andere punt ligt op de overstaande zijde AB (oftewel zijde c) en lijnstuk CH_c staat loodrecht op zijde c. Punt H_c heet het voetpunt van de hoogtelijn; zijde c noemen we de basis. Het voetpunt noemen we meestal naar de letter H met als index het hoekpunt waar de hoogtelijn vandaan komt. In dit geval is dat hoekpunt C.

Een hoogtelijn teken je vrij gemakkelijk, je neemt een geodriehoek en trekt een loodlijn op zijde c zo dat die loodlijn precies door punt C gaat. Dat is alles.

Een hoogtelijn kunnen we vanuit elk hoekpunt van de driehoek trekken. Alle hoogtelijnen snijden elkaar dan in een punt dat het hoogtepunt (orthocentrum) heet. Het hoogtepunt kan binnen de driehoek liggen, maar dat hoeft niet. Bij een scherphoekige driehoek ligt het hoogtepunt binnen de driehoek:

Rood zijn alle drie de hoogtelijnen van de driehoek aangegeven. Let erop dat elke hoogtelijn loodrecht op zijn zijde staat. De hoogtelijnen noteren we met een kleine letter h met als index de aanduiding van het hoekpunt waar de hoogtelijn vandaan komt. Bij de hoogtelijn BH_b spreken we dus van hoogtelijn h_b. Het hoogtepunt zelf is met een groen punt H aangegeven.

Stomphoekige driehoek

Bij een stomphoekige driehoek moet je een klein trucje toepassen. Het hoogtepunt ontstaat buiten de driehoek en sommige hoogtelijnen kunnen in werkelijkheid de zijden niet snijden die ze zouden moeten snijden. Dat lossen we op door de gewenste zijden van de driehoek te “verlengen” zodat het gewoon klopt. Kijk weer naar de afbeelding: We gaan uit van de vetgedrukte driehoek ABC. Deze driehoek is stomphoekig, hoek ACB is groter dan 90 graden. De hoogtelijn vanuit hoekpunt C tekenen we zonder problemen, maar bij de hoogtelijn vanuit hoekpunt B krijgen we een probleem. We vinden geen loodlijn op zijde AC die zowel zijde AC als hoekpunt B snijdt. Dat lossen we op door de halve lijn AC te maken en zo zijde AC te verlengen zoals nodig is. De loodlijn zoeken we op deze halve lijn. Hier vinden we de loodlijn wel. Het voetpunt van de loodlijn ligt op de nieuw ontstane halve lijn. Op dezelfde manier tekenen we ook de overblijvende hoogtelijn.

Nu hebben we alle drie de hoogtelijnen van de driehoek getekend. Het probleem is dat deze hoogtelijnen elkaar nooit snijden en dus geen hoogtepunt vormen. Dat regelen we door drie nieuwe halve lijnen te tekenen in de richting van de hoogtelijnen zodat ze elkaar ergens boven de driehoek snijden. De hoogtelijnen zelf veranderen we echter niet.

Rechthoekige driehoek

In een rechthoekige driehoek is het het eenvoudigst, want twee hoogtelijnen vallen samen met twee zijden van de driehoek, namelijk met de rechthoekszijden. Het hoogtepunt ligt dan in het hoekpunt tegenover de schuine zijde.

Lengte van de hoogtelijn

Soms moeten we de lengte van de hoogtelijn berekenen. We gaan uit van de afbeelding voor de hoogtelijn in een scherphoekige driehoek.

Daar is de hoogtelijn h_c aangegeven, dus we proberen zijn lengte te berekenen. De hoogtelijn h_c staat natuurlijk loodrecht op zijde AB, en dat kunnen we gebruiken. We maken een nieuwe driehoek waarin de hoogtelijn gemakkelijker te berekenen is. De driehoek maken we van de hoekpunten B, C en H_c. In de afbeelding rood gemarkeerd:

Nu gebruiken we goniometrische verhoudingen. Daarvoor moeten we ook de hoek bij hoekpunt B kennen, hoek β. Dan is het een eenvoudige toepassing van de sinus, die de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde bepaalt. De overstaande rechthoekszijde is in dit geval zijde h_c, de schuine zijde is zijde CB. Er geldt dus:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Hoek β is ongeveer 53°8′ en zijde BC heeft lengte 5. Invullen geeft:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

De hoogtelijn h_c heeft lengte vier.