Altura de un triángulo

La altura de un triángulo es un segmento. Uno de los extremos del segmento es un vértice del triángulo y el otro extremo es un punto del lado opuesto del triángulo, de modo que la propia altura debe ser perpendicular a ese lado.

Triángulo acutángulo

Se verá mejor en una figura:

Hemos trazado la altura desde el vértice C. El otro punto está en el lado opuesto AB (es decir, el lado c) y el segmento CP_c es perpendicular al lado c. El punto P_c se llama pie de la altura; al lado c lo llamamos base. El pie suele nombrarse con la letra P y un subíndice con el vértice del que parte la altura. En este caso es el vértice C.

La altura se traza con bastante facilidad: coges la regla y trazas la perpendicular al lado c de modo que pase justo por el punto C. Eso es todo.

Podemos trazar la altura desde cada vértice del triángulo. Todas las alturas se cortan entonces en un punto que se llama ortocentro. El ortocentro puede estar dentro del triángulo, pero también puede no estarlo. En el caso de un triángulo acutángulo, el ortocentro está dentro del triángulo:

En rojo están marcadas las tres alturas del triángulo. Fíjate en que cada altura es perpendicular a su lado. Las alturas las designamos con la letra minúscula h y un subíndice con el vértice del que parte la altura. En el caso de la altura BP_b hablamos, por tanto, de la altura h_b. El propio ortocentro está marcado con el punto verde H.

Triángulo obtusángulo

En el caso de un triángulo obtusángulo hay que recurrir a un pequeño truco. El ortocentro queda fuera del triángulo y algunas alturas en realidad no pueden cortar los lados que deberían cortar. Esto se resuelve «prolongando» los lados necesarios del triángulo para que salga bien. Mira de nuevo la figura: Partimos del triángulo ABC, resaltado en trazo grueso. Este triángulo es obtusángulo: el ángulo ACB mide más de 90 grados. La altura desde el vértice C la trazamos sin problema, pero con la altura desde el vértice B tendremos un problema. No encontraremos una perpendicular al lado AC que corte el lado AC y pase a la vez por el vértice B. Lo resolvemos creando la semirrecta AC y prolongando así el lado AC lo necesario. La perpendicular la buscamos sobre esa semirrecta. Ahí sí encontramos la perpendicular. El pie de la perpendicular se encuentra en la semirrecta recién creada. De la misma forma trazamos también la altura restante.

Ahora tenemos trazadas las tres alturas del triángulo. El problema es que estas alturas no se cortan y, por tanto, no forman el ortocentro. Lo conseguimos trazando tres semirrectas nuevas en la dirección de las alturas, de modo que se corten en algún punto por encima del triángulo. Las alturas en sí no las modificaremos.

Triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo es lo más sencillo, porque dos alturas coinciden con dos lados del triángulo, en concreto con los catetos. El ortocentro estará entonces en el vértice opuesto a la hipotenusa.

Longitud de la altura

A veces hace falta calcular la longitud de la altura. Partimos de la figura de la altura en un triángulo acutángulo.

Ahí está marcada la altura h_c, así que intentaremos calcular su longitud. La altura h_c es, por supuesto, perpendicular al lado AB, y podemos aprovecharlo. Formamos un triángulo nuevo en el que la altura se calcule con más facilidad. El triángulo lo formamos con los vértices B, C y P_c. En la figura está resaltado en rojo:

Ahora utilizaremos las razones trigonométricas. Además, necesitaremos conocer el ángulo en el vértice B, el ángulo β. Entonces es una simple aplicación del seno, que es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. El cateto opuesto es en este caso el lado h_c y la hipotenusa es el lado CB. Por tanto, se cumple:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \mathrm{sen}(\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

El ángulo β mide aproximadamente 53°8′ y el lado BC tiene longitud 5. Al sustituir obtenemos:

$$|h_c|=\mathrm{sen}({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

La altura h_c mide cuatro.