Altezza di un triangolo

L’altezza di un triangolo è un segmento. Un estremo del segmento è un vertice del triangolo e l’altro estremo è un punto del lato opposto del triangolo, e l’altezza stessa deve essere perpendicolare a questo lato.

Triangolo acutangolo

La cosa migliore è vederla in una figura:

Abbiamo tracciato l’altezza dal vertice C. L’altro punto sta sul lato opposto AB (cioè il lato c) e il segmento CP_c è perpendicolare al lato c. Il punto P_c si chiama piede dell’altezza; il lato c si chiama base. Il piede si indica di solito con la lettera P e un pedice che indica il vertice da cui parte l’altezza. In questo caso è il vertice C.

L’altezza si disegna abbastanza facilmente: prendi una squadra e tracci la perpendicolare al lato c in modo che passi proprio per il punto C. Tutto qui.

L’altezza si può tracciare da ogni vertice del triangolo. Tutte le altezze si incontrano poi in un punto che si chiama ortocentro. L’ortocentro può stare all’interno del triangolo, ma non necessariamente. Nel triangolo acutangolo l’ortocentro sta all’interno del triangolo:

In rosso sono evidenziate tutte e tre le altezze del triangolo. Nota che ogni altezza è perpendicolare al proprio lato. Le altezze si indicano con la lettera minuscola h con un pedice in cui mettiamo il nome del vertice da cui parte l’altezza. Per l’altezza BP_b parliamo quindi dell’altezza h_b. L’ortocentro stesso è indicato dal punto verde H.

Triangolo ottusangolo

Nel caso del triangolo ottusangolo ci vuole un piccolo accorgimento. L’ortocentro si trova fuori dal triangolo e alcune altezze in realtà non possono incontrare i lati che dovrebbero incontrare. Si risolve prolungando i lati necessari del triangolo, in modo che alla fine tutto torni. Guarda di nuovo la figura: Partiamo dal triangolo ABC, evidenziato in grassetto. Questo triangolo è ottusangolo: l’angolo ACB è maggiore di 90°. L’altezza dal vertice C la tracciamo senza problemi, ma con l’altezza dal vertice B avremo un problema. Non troviamo una perpendicolare al lato AC che incontri sia il lato AC sia il vertice B. Lo risolviamo disegnando la semiretta AC e prolungando così il lato AC quanto serve. La perpendicolare la cerchiamo su questa semiretta. Qui la perpendicolare la troviamo. Il piede della perpendicolare si trova sulla semiretta appena ottenuta. Allo stesso modo tracciamo anche l’altra altezza.

Ora abbiamo tracciato tutte e tre le altezze del triangolo. Il problema è che queste altezze non si incontrano mai e quindi non formano l’ortocentro. Lo otteniamo tracciando tre nuove semirette nella direzione delle altezze, in modo che si incontrino da qualche parte sopra il triangolo. Le altezze stesse, però, non le modifichiamo in alcun modo.

Triangolo rettangolo

Nel triangolo rettangolo è tutto più semplice, perché due altezze coincidono con due lati del triangolo, precisamente con i cateti. L’ortocentro si trova quindi nel vertice opposto all’ipotenusa.

Lunghezza dell’altezza

A volte serve calcolare la lunghezza dell’altezza. Partiamo dalla figura dell’altezza nel triangolo acutangolo.

Qui è evidenziata l’altezza h_c, quindi proviamo a calcolarne la lunghezza. L’altezza h_c è naturalmente perpendicolare al lato AB, e possiamo sfruttarlo. Costruiamo un nuovo triangolo, nel quale l’altezza si calcola più facilmente. Il triangolo ha per vertici B, C e P_c. Nella figura è evidenziato in rosso:

Ora usiamo le funzioni goniometriche. Ci serve inoltre conoscere l’angolo nel vertice B, l’angolo β. Poi basta una semplice applicazione del seno, che esprime il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa. Il cateto opposto è in questo caso il lato h_c, l’ipotenusa è il lato CB. Quindi vale:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \mathrm{sen}(\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

L’angolo β misura circa 53°8′ e il lato BC è lungo 5. Sostituendo otteniamo:

$$|h_c|=\mathrm{sen}({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

L’altezza h_c è lunga quattro.