Höjd i en triangel

Höjden i en triangel är en sträcka. Den ena ändpunkten på sträckan är ett hörn i triangeln och den andra ändpunkten är en punkt på triangelns motstående sida, och själva höjden måste vara vinkelrät mot den sidan.

Spetsvinklig triangel

Det syns bäst på en figur:

Vi har dragit höjden från hörn C. Den andra ändpunkten ligger på den motstående sidan AB (alltså sidan c) och sträckan CP_c är vinkelrät mot sidan c. Punkten P_c kallas höjdens fotpunkt; sidan c kallar vi basen. Fotpunkten brukar vi benämna med bokstaven P och ett nedsänkt index som anger det hörn som höjden utgår från. I det här fallet är det hörn C.

En höjd är ganska lätt att konstruera: du tar en linjal och drar en vinkelrät linje från sidan c så att den går genom just punkten C. Det är allt.

En höjd kan vi dra från varje hörn i triangeln. Alla höjder skär varandra i en punkt som kallas ortocentrum. Ortocentrum kan ligga inuti triangeln, men det måste inte. I en spetsvinklig triangel ligger ortocentrum inuti triangeln:

Alla tre höjderna i triangeln är markerade med rött. Lägg märke till att varje höjd är vinkelrät mot sin sida. Höjderna betecknar vi med den lilla bokstaven h och ett nedsänkt index som anger det hörn som höjden utgår från. För höjden BP_b talar vi alltså om höjden h_b. Själva ortocentrum är markerat med den gröna punkten H.

Trubbvinklig triangel

I en trubbvinklig triangel måste du ta till ett litet knep. Ortocentrum hamnar utanför triangeln och några av höjderna kan faktiskt inte skära de sidor som de borde skära. Det löser du genom att ”förlänga” de aktuella sidorna i triangeln så att det helt enkelt går ihop. Titta på figuren igen: Utgångspunkten är den kraftigt markerade triangeln ABC. Den är trubbvinklig, vinkel ACB är större än 90°. Höjden från hörn C ritar vi utan problem, men med höjden från hörn B får vi problem. Det finns ingen vinkelrät linje mot sidan AC som både skär sidan AC och går genom hörn B. Det löser vi genom att skapa strålen AC och förlänga sidan AC så långt som behövs. Den vinkelräta linjen söker vi på den här strålen, och där hittar vi den. Fotpunkten ligger på den nybildade strålen. På samma sätt ritar vi den återstående höjden.

Nu har vi ritat alla tre höjderna i triangeln. Problemet är att höjderna aldrig skär varandra, så något ortocentrum bildas inte. Det ordnar vi genom att rita tre nya strålar i höjdernas riktning så att de skär varandra någonstans ovanför triangeln. Själva höjderna ändrar vi inte alls.

Rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel är det enklast, eftersom två av höjderna sammanfaller med två av sidorna i triangeln, nämligen kateterna. Ortocentrum ligger då i det hörn som är mittemot hypotenusan.

Höjdens längd

Ibland behöver du beräkna längden på en höjd. Vi utgår från figuren med höjden i en spetsvinklig triangel.

Där är höjden h_c markerad, så vi försöker beräkna dess längd. Höjden h_c är förstås vinkelrät mot sidan AB, och det kan vi utnyttja. Vi skapar en ny triangel där höjden blir lättare att beräkna. Triangeln bildar vi av hörnen B, C och P_c. Den är markerad med rött på figuren:

Nu använder vi trigonometriska funktioner. Dessutom behöver vi känna till vinkeln vid hörn B, vinkeln β. Sedan är det en enkel tillämpning av sinus, som anger förhållandet mellan motstående katet och hypotenusan. Den motstående kateten är här sidan h_c och hypotenusan är sidan CB. Alltså gäller:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Vinkeln β är ungefär 53°8′ och sidan BC har längden 5. Insättning ger:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Höjden h_c har längden fyra.