Höhe im Dreieck

Die Höhe eines Dreiecks ist eine Strecke. Ein Endpunkt der Strecke ist ein Eckpunkt des Dreiecks und der andere Endpunkt ist ein Punkt auf der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks, wobei die Höhe selbst auf dieser Seite senkrecht stehen muss.

Spitzwinkliges Dreieck

Am besten sieht man es an einer Abbildung:

Die Höhe haben wir vom Eckpunkt C aus gezogen. Der zweite Punkt liegt auf der gegenüberliegenden Seite AB (also der Seite c), und die Strecke CP_c steht senkrecht auf der Seite c. Der Punkt P_c heißt Höhenfußpunkt; die Seite c nennen wir Grundseite. Den Fußpunkt benennen wir üblicherweise nach dem Buchstaben P mit einem unteren Index, der den Eckpunkt angibt, von dem die Höhe ausgeht. In diesem Fall ist es der Eckpunkt C.

Die Höhe lässt sich recht leicht zeichnen: Du nimmst ein Lineal und ziehst von der Seite c aus eine Senkrechte so, dass sie genau durch den Punkt C verläuft. Das ist alles.

Die Höhe können wir von jedem Eckpunkt des Dreiecks aus ziehen. Alle Höhen schneiden sich dann in einem Punkt, der Höhenschnittpunkt heißt. Der Höhenschnittpunkt kann im Inneren des Dreiecks liegen, muss aber nicht. Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt im Inneren des Dreiecks:

Rot sind alle drei Höhen des Dreiecks markiert. Beachte, dass jede Höhe auf ihrer Seite senkrecht steht. Höhen bezeichnen wir mit dem kleinen Buchstaben h und einem unteren Index, in den wir die Bezeichnung des Eckpunkts schreiben, von dem die Höhe ausgeht. Bei der Höhe BP_b sprechen wir also von der Höhe h_b. Der Höhenschnittpunkt selbst ist mit dem grünen Punkt H markiert.

Stumpfwinkliges Dreieck

Beim stumpfwinkligen Dreieck musst du einen kleinen Kniff anwenden. Der Höhenschnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks, und einige Höhen können die Seiten, die sie schneiden sollten, in Wirklichkeit gar nicht schneiden. Das löst man, indem man die benötigten Seiten des Dreiecks „verlängert“, sodass es eben aufgeht. Sieh dir wieder die Abbildung an: Die Grundlage ist das fett hervorgehobene Dreieck ABC. Dieses Dreieck ist stumpfwinklig, der Winkel ACB ist größer als 90°. Die Höhe vom Eckpunkt C zeichnen wir problemlos, aber schon mit der Höhe vom Eckpunkt B haben wir ein Problem. Wir finden keine Senkrechte zur Seite AC, die sowohl die Seite AC schneidet als auch durch den Eckpunkt B geht. Das lösen wir, indem wir den Strahl AC bilden und so die Seite AC verlängern, wie es nötig ist. Die Senkrechte suchen wir auf diesem Strahl. Hier finden wir die Senkrechte nun. Der Fußpunkt der Senkrechten liegt auf dem neu entstandenen Strahl. Genauso zeichnen wir auch die übrige Höhe.

Jetzt haben wir alle drei Höhen des Dreiecks gezeichnet. Das Problem ist, dass sich diese Höhen nie schneiden und so keinen Höhenschnittpunkt bilden. Das erreichen wir, indem wir drei neue Strahlen in Richtung der Höhen zeichnen, sodass sie sich irgendwo über dem Dreieck schneiden. Die Höhen selbst verändern wir dabei nicht.

Rechtwinkliges Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck ist es am einfachsten, denn zwei Höhen fallen mit zwei Seiten des Dreiecks zusammen, nämlich mit den Katheten. Der Höhenschnittpunkt liegt dann in dem Eckpunkt, der der Hypotenuse gegenüberliegt.

Länge der Höhe

Manchmal muss man die Länge der Höhe berechnen. Wir gehen von der Abbildung für die Höhe im spitzwinkligen Dreieck aus.

Dort ist die Höhe h_c markiert, also versuchen wir, ihre Länge zu berechnen. Die Höhe h_c steht natürlich senkrecht auf der Seite AB, was wir nutzen können. Wir bilden ein neues Dreieck, in dem sich die Höhe leichter berechnen lässt. Das Dreieck bilden wir aus den Eckpunkten B, C und P_c. In der Abbildung rot hervorgehoben:

Nun verwenden wir die Winkelfunktionen. Dazu müssen wir noch den Winkel am Eckpunkt B kennen, den Winkel β. Dann ist es eine einfache Anwendung des Sinus, der das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse angibt. Die Gegenkathete ist in diesem Fall die Seite h_c, die Hypotenuse ist die Seite CB. Es gilt also:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Der Winkel β hat eine Größe von ungefähr 53°8′ und die Seite BC hat die Länge 5. Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Die Höhe h_c hat die Länge vier.