A háromszög magassága

A háromszög magassága egy szakasz. A szakasz egyik végpontja a háromszög egy csúcsa, a másik végpontja pedig a szemközti oldal egy pontja, és magának a magasságnak merőlegesnek kell lennie erre az oldalra.

Hegyesszögű háromszög

Ez az ábrán látszik a legjobban:

A magasságot a C csúcsból húztuk. A másik végpont a szemközti AB oldalon (azaz a c oldalon) van, és a CT_c szakasz merőleges a c oldalra. A T_c pontot a magasság talppontjának nevezzük; a c oldalt pedig alapnak. A talppontot általában a T betűvel és alsó indexben azzal a csúccsal jelöljük, amelyből a magasság indul. Ebben az esetben ez a C csúcs.

A magasságot elég könnyű megszerkeszteni: fogod a vonalzót, és a c oldalra merőlegest húzol úgy, hogy az éppen a C csúcson menjen át. Ez minden.

Magasságot a háromszög mindegyik csúcsából húzhatunk. Az összes magasság egy pontban metszi egymást, ezt a pontot magasságpontnak nevezzük. A magasságpont lehet a háromszög belsejében, de nem kell, hogy ott legyen. Hegyesszögű háromszögben a magasságpont a háromszög belsejében van:

Pirossal jelöltük a háromszög mindhárom magasságát. Figyeld meg, hogy minden magasság merőleges a saját oldalára. A magasságokat kis m betűvel jelöljük, alsó indexben azzal a csúccsal, amelyből a magasság indul. A BT_b magasságról tehát az m_b magasságként beszélünk. Magát a magasságpontot zöld M pont jelöli.

Tompaszögű háromszög

Tompaszögű háromszögnél egy kis fortélyra van szükség. A magasságpont a háromszög belsején kívülre kerül, és néhány magasság valójában nem metszheti azokat az oldalakat, amelyeket metszenie kellene. Ezt úgy oldjuk meg, hogy a szükséges oldalakat „meghosszabbítjuk”, hogy a dolog egyszerűen kijöjjön. Nézd meg újra az ábrát: Kiindulópontunk a vastagon kiemelt ABC háromszög. Ez a háromszög tompaszögű, az ACB szög nagyobb 90 foknál. A C csúcsból húzott magasságot gond nélkül megszerkesztjük, de a B csúcsból húzottal már gondunk lesz. Nem találunk olyan merőlegest az AC oldalra, amely az AC oldalt is metszené, és a B csúcson is átmenne. Ezt úgy oldjuk meg, hogy megrajzoljuk az AC félegyenest, és így meghosszabbítjuk az AC oldalt, amennyire kell. A merőlegest ezen a félegyenesen keressük. Itt már megtaláljuk. A merőleges talppontja az újonnan keletkezett félegyenesen van. Ugyanígy szerkesztjük meg a hátralévő magasságot is.

Most már megvan mindhárom magasság. A gond az, hogy ezek a magasságok soha nem metszik egymást, így nem alkotnak magasságpontot. Ezt úgy érjük el, hogy a magasságok irányában három új félegyenest rajzolunk, hogy valahol a háromszög felett metsszék egymást. Magukat a magasságokat viszont semmiben nem változtatjuk meg.

Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszögben ez a legegyszerűbb, mert két magasság egybeesik a háromszög két oldalával, éspedig a befogókkal. A magasságpont ekkor az átfogóval szemközti csúcsban lesz.

A magasság hossza

Néha ki kell számítani a magasság hosszát. Induljunk ki a hegyesszögű háromszög magasságának ábrájából.

Itt be van jelölve az m_c magasság, próbáljuk tehát kiszámítani a hosszát. Az m_c magasság természetesen merőleges az AB oldalra, és ezt ki is használhatjuk. Készítünk egy új háromszöget, amelyben a magasság könnyebben kiszámítható. A háromszöget a B, C és T_c csúcsokból alkotjuk. Az ábrán pirossal kiemelve:

Most a szögfüggvényeket használjuk. Ehhez még ismernünk kell a B csúcsnál lévő szöget, a β szöget. Aztán már csak a szinuszt kell alkalmazni, amely a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát adja meg. A szemközti befogó ebben az esetben az m_c, az átfogó a CB oldal. Tehát:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|m_c|}{|BC|}\\ |m_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

A β szög nagysága közelítőleg 53°8′, a BC oldal hossza pedig 5. Behelyettesítve:

$$|m_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Az m_c magasság hossza négy.