Altura de um triângulo

A altura de um triângulo é um segmento. Um extremo do segmento é um vértice do triângulo e o outro extremo é um ponto do lado oposto do triângulo, sendo que a própria altura precisa ser perpendicular a esse lado.

Triângulo acutângulo

O melhor é ver isso numa figura:

Traçamos a altura a partir do vértice C. O outro ponto fica no lado oposto AB (ou seja, o lado c), e o segmento CH_c é perpendicular ao lado c. O ponto H_c chama-se pé da altura; o lado c é chamado de base. O pé costuma ser nomeado pela letra H com um índice inferior, em que vai o vértice de onde a altura parte. Neste caso, é o vértice C.

A altura se desenha com bastante facilidade: você pega o esquadro e traça uma perpendicular ao lado c de modo que essa perpendicular passe exatamente pelo ponto C. Só isso.

Podemos traçar uma altura a partir de cada vértice do triângulo. Todas as alturas se cruzam, então, em um ponto chamado ortocentro. O ortocentro pode ficar no interior do triângulo, mas também pode não ficar. No caso do triângulo acutângulo, o ortocentro fica no interior do triângulo:

Em vermelho estão indicadas as três alturas do triângulo. Observe que cada altura é perpendicular ao seu lado. Indicamos as alturas pela letra minúscula h com um índice inferior, em que colocamos a indicação do vértice de onde a altura parte. No caso da altura BH_b, falamos, portanto, da altura h_b. O próprio ortocentro está marcado pelo ponto verde H.

Triângulo obtusângulo

No caso do triângulo obtusângulo é preciso recorrer a um certo truque. O ortocentro surge fora do interior do triângulo, e algumas alturas na verdade não conseguem cruzar os lados que deveriam cruzar. Isso se resolve “prolongando” os lados necessários do triângulo, de modo que dê certo. Veja de novo a figura: O ponto de partida é o triângulo ABC, destacado em traço grosso. Esse triângulo é obtusângulo: o ângulo ACB mede mais de 90 graus. Traçamos a altura a partir do vértice C sem problema, mas com a altura a partir do vértice B teremos um problema. Não encontramos uma perpendicular ao lado AC que cruze ao mesmo tempo o lado AC e o vértice B. Resolvemos isso criando a semirreta AC e prolongando assim o lado AC como for preciso. Procuramos a perpendicular sobre essa semirreta. Aqui já encontramos a perpendicular. O pé da perpendicular fica na semirreta recém-criada. Do mesmo modo traçamos também a altura que falta.

Agora temos traçadas as três alturas do triângulo. O problema é que essas alturas nunca se cruzaram e, portanto, não formaram o ortocentro. Resolvemos isso traçando três novas semirretas na direção das alturas, de modo que se cruzem em algum lugar acima do triângulo. As próprias alturas, porém, não vamos alterar.

Triângulo retângulo

No triângulo retângulo é mais simples, porque duas alturas coincidirão com dois lados do triângulo, mais precisamente com os catetos. O ortocentro ficará, então, no vértice oposto à hipotenusa.

Comprimento da altura

Às vezes é preciso calcular o comprimento da altura. Partimos da figura da altura em um triângulo acutângulo.

Ali está indicada a altura h_c, então vamos tentar calcular seu comprimento. A altura h_c é, evidentemente, perpendicular ao lado AB, e podemos aproveitar isso. Criamos um novo triângulo, no qual a altura será calculada com mais facilidade. Formamos esse triângulo com os vértices B, C e H_c. Na figura está destacado em vermelho:

Agora vamos usar as funções trigonométricas. Para isso ainda precisamos conhecer o ângulo no vértice B, o ângulo β. Então é uma aplicação simples do seno, que determina a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. O cateto oposto é, neste caso, o lado h_c, e a hipotenusa é o lado CB. Portanto, vale:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \mathrm{sen}(\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

O ângulo β mede aproximadamente 53°8′ e o lado BC tem comprimento 5. Substituindo, obtemos:

$$|h_c|=\mathrm{sen}({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

A altura h_c tem comprimento quatro.