Hauteur d’un triangle

La hauteur d’un triangle est un segment. Une extrémité du segment est un sommet du triangle et l’autre extrémité est un point du côté opposé du triangle, la hauteur elle-même devant être perpendiculaire à ce côté.

Triangle dont les trois angles sont aigus

Le plus simple est de regarder une figure :

Nous avons mené la hauteur issue du sommet C. L’autre point se trouve sur le côté opposé [AB] (c’est-à-dire le côté c) et le segment [CP_c] est perpendiculaire au côté c. Le point P_c s’appelle le pied de la hauteur ; on appelle le côté c la base. On nomme généralement le pied d’après la lettre P avec en indice le sommet dont part la hauteur. Dans ce cas, c’est le sommet C.

Une hauteur se construit assez facilement : tu prends ta règle et tu traces la perpendiculaire au côté c de façon qu’elle passe exactement par le point C. C’est tout.

On peut mener une hauteur depuis chaque sommet du triangle. Toutes les hauteurs se coupent alors en un point que l’on appelle l’orthocentre. L’orthocentre peut se trouver à l’intérieur du triangle, mais pas nécessairement. Dans le cas d’un triangle dont les trois angles sont aigus, l’orthocentre se trouve à l’intérieur du triangle :

Les trois hauteurs du triangle sont marquées en rouge. Remarque que chaque hauteur est perpendiculaire à son côté. On note les hauteurs par la lettre minuscule h avec en indice le sommet dont part la hauteur. Pour la hauteur [BP_b], on parle donc de la hauteur h_b. L’orthocentre lui-même est marqué par le point vert H.

Triangle obtus

Dans le cas d’un triangle obtus, il faut recourir à une petite astuce. L’orthocentre se trouve à l’extérieur du triangle et certaines hauteurs ne peuvent en fait pas couper les côtés qu’elles devraient couper. On résout cela en « prolongeant » les côtés voulus du triangle pour que cela marche. Regarde à nouveau la figure : Le point de départ est le triangle ABC en gras. Ce triangle est obtus : l’angle $\widehat{ACB}$ mesure plus de 90°. La hauteur issue du sommet C, on la trace sans problème, mais avec la hauteur issue du sommet B nous aurons un problème. Nous ne trouverons pas de perpendiculaire au côté [AC] qui coupe à la fois le côté [AC] et passe par le sommet B. On résout cela en traçant la demi-droite [AC) et en prolongeant ainsi le côté [AC] autant qu’il le faut. On cherche la perpendiculaire sur cette demi-droite. Là, on trouve bien la perpendiculaire. Le pied de la perpendiculaire se trouve sur la demi-droite ainsi obtenue. On trace de la même façon la dernière hauteur.

Nous avons maintenant tracé les trois hauteurs du triangle. Le problème est que ces hauteurs ne se coupent jamais et ne forment donc pas d’orthocentre. On y remédie en traçant trois nouvelles demi-droites dans la direction des hauteurs, de façon qu’elles se coupent quelque part au-dessus du triangle. Quant aux hauteurs elles-mêmes, on ne les modifie pas.

Triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, c’est le plus simple, car deux hauteurs sont confondues avec deux côtés du triangle, à savoir les côtés de l’angle droit. L’orthocentre est alors au sommet opposé à l’hypoténuse.

Longueur de la hauteur

Il faut parfois calculer la longueur d’une hauteur. Partons de la figure de la hauteur dans un triangle dont les trois angles sont aigus.

Nous y avons marqué la hauteur h_c, essayons donc de calculer sa longueur. La hauteur h_c est bien sûr perpendiculaire au côté [AB], et nous pouvons en profiter. Nous formons un nouveau triangle dans lequel la hauteur se calculera plus facilement. Nous formons le triangle avec les sommets B, C et P_c. Il est marqué en rouge sur la figure :

Nous utilisons maintenant les fonctions trigonométriques. Pour cela, il nous faut encore connaître l’angle au sommet B, l’angle β. Il s’agit alors d’une simple application du sinus, qui donne le rapport du côté opposé à l’hypoténuse. Le côté opposé est ici le côté h_c, l’hypoténuse est le côté CB. Donc :

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{h_c}{BC}\\ h_c& =& \sin (\beta )\cdot BC\end{array}$$

L’angle β mesure environ 53°8′ et le côté BC a pour longueur 5. En remplaçant, on obtient :

$$h_c=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

La hauteur h_c mesure quatre.