Đường parabol

Đường parabol là một đường conic, tức là đường cong mà mọi điểm của nó cách đều một đường thẳng cho trước và một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng đó.

Hình dạng của đường parabol

Parabol được xác định bởi một điểm F và một đường thẳng d. Mọi điểm X của parabol đều cách đều điểm F và đường thẳng d. Hãy xem hình:

• Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.
• Đường thẳng d gọi là đường chuẩn của parabol.
• Đường thẳng FD gọi là trục đối xứng của parabol; đường thẳng này vuông góc với đường chuẩn và đi qua tiêu điểm.
• Điểm V gọi là đỉnh của parabol, đó là trung điểm của đoạn thẳng FD.
• Độ dài đoạn thẳng FD gọi là tham số tiêu của parabol. Đó là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn.

Trên hình cũng có thể thấy khoảng cách từ một điểm của parabol đến đường thẳng và đến tiêu điểm đúng là luôn bằng nhau. Chẳng hạn với đỉnh V, khoảng cách đến tiêu điểm VF bằng khoảng cách đến đường thẳng VD. Điểm X được đánh dấu trên hình cũng vậy: khoảng cách XF bằng khoảng cách XE.

Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai.

Phương trình đường parabol

Với parabol, ta phân biệt bốn trường hợp. Trước hết là trục đối xứng của parabol nằm thế nào: thẳng đứng (song song với trục tung) như ở hình đầu tiên, hay nằm ngang (song song với trục hoành). Sau đó phân biệt parabol quay bề lõm lên trên hay xuống dưới, sang phải hay sang trái. Giả sử parabol có đỉnh V với toạ độ (m; n).

• Trường hợp thứ nhất: Parabol có trục đối xứng song song với trục tung và quay bề lõm lên trên. Phương trình của nó là:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Tiêu điểm có toạ độ:

  $$F(m;n+\frac{p}{2})$$

• Trường hợp thứ hai: Parabol có trục đối xứng song song với trục tung và quay bề lõm xuống dưới. Phương trình của nó là:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Tiêu điểm có toạ độ:

  $$F(m;n-\frac{p}{2})$$

• Trường hợp thứ ba: Parabol có trục đối xứng song song với trục hoành và quay bề lõm sang phải. Phương trình của nó là:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Tiêu điểm có toạ độ:

  $$F(m+\frac{p}{2};n)$$

• Trường hợp thứ tư: Parabol có trục đối xứng song song với trục hoành và quay bề lõm sang trái. Phương trình của nó là:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Tiêu điểm có toạ độ:

  $$F(m-\frac{p}{2};n)$$