Đường hypebol

Đường hypebol là một đường conic. Với mọi điểm của hypebol, giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định luôn không đổi.

Hình dạng của đường hypebol

Định nghĩa trên nghe hơi đáng sợ, nên trước hết hãy xem hình vẽ một đường hypebol:

Hãy để ý rằng khác với các đường conic khác như đường elip hay đường parabol, hypebol gồm hai nhánh. Định nghĩa trên có nghĩa là gì? Cho hai tiêu điểm F₁ và F₂. Với mọi điểm X trên hypebol, hiệu XF₁ − XF₂ có giá trị tuyệt đối không đổi.

Trên hình có hai điểm X₁ và X₂. Với X₁, hiệu bằng: X₁F₁ − X₁F₂ = 1 − 3 = −2, lấy giá trị tuyệt đối ta được 2. Với X₂ cũng phải được cùng giá trị đó. Thử tính: X₂F₁ − X₂F₂ = 3 − 5 = −2, giá trị tuyệt đối bằng 2 (độ dài đoạn thẳng X₂F₂ bằng 5 có thể tính, chẳng hạn, bằng định lí Pythagore).

Làm như vậy với mọi điểm của hypebol, ta luôn được kết quả 2.

Mô tả đường hypebol

Hãy xem hình vẽ đầy đủ hơn của hypebol ở trên:

• Các điểm F₁ và F₂ gọi là tiêu điểm.
• Điểm O gọi là tâm của hypebol, đó là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂.
• Đường thẳng F₁F₂ gọi là trục thực của hypebol. Đường thẳng vuông góc với trục này tại điểm O gọi là trục ảo của hypebol.
• Giao điểm của hypebol với trục thực gọi là đỉnh của hypebol, trên hình là các điểm A và B.
• Mỗi đoạn thẳng AO và BO gọi là bán trục thực của hypebol. Độ dài của chúng kí hiệu là a.
• Độ dài bán trục ảo của hypebol kí hiệu là b.
• Khoảng cách từ tiêu điểm đến tâm gọi là nửa tiêu cự. Bài này kí hiệu nửa tiêu cự là e như trên hình (sách giáo khoa kí hiệu là c). Lưu ý: sách giáo khoa dùng chữ e cho “tâm sai”, tức là tỉ số $\frac{c}{a}$, một đại lượng khác. Ta có hệ thức:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Để thấy rõ hơn độ dài bán trục ảo b từ đâu mà có, hãy xem thêm một hình nữa:

Đây vẫn là hypebol ở trên, chủ yếu có thêm các đường tiệm cận, đó là hai đường thẳng a₁, a₂ màu tím cắt nhau tại tâm O. Bán trục thực a vẫn giữ nguyên, vẫn là đoạn thẳng AO. Bây giờ đặt trên đường tiệm cận điểm D sao cho khoảng cách OD bằng nửa tiêu cự e. Khi đó độ dài đoạn thẳng AD chính là độ dài bán trục ảo của hypebol. Như trên hình, tam giác OAD là tam giác vuông, nên có thể dùng định lí Pythagore, và do đó có hệ thức

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Đường tròn trên hình có tâm O, chỉ để cho thấy độ dài F₁O (nửa tiêu cự) bằng độ dài OD.

Phương trình đường hypebol

Với hypebol, ta phân biệt hai trường hợp, tuỳ theo trục thực của hypebol song song với trục hoành hay trục tung. Xét hypebol có tâm I với toạ độ (m; n).

• Trục thực song song với trục hoành:

Phương trình:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Trục thực song song với trục tung:

Phương trình:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$