포물선

포물선은 원뿔곡선이다. 포물선은 주어진 직선과, 그 직선 위에 있지 않은 주어진 점에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어진 곡선이다.

포물선의 생김새

포물선은 한 점 F와 한 직선 d로 정해진다. 이 포물선 위의 모든 점 X는 점 F와 직선 d에서 같은 거리에 있다. 그림을 보자.

• 점 F를 포물선의 초점이라고 한다.
• 직선 d를 포물선의 준선이라고 한다.
• 직선 FD를 포물선의 축이라고 한다. 이 축은 준선에 수직이고 초점을 지난다.
• 점 V를 포물선의 꼭짓점이라고 하고, 선분 FD의 중점에 있다.
• 선분 FD의 길이, 즉 초점과 준선 사이의 거리를 이 글에서는 p로 나타낸다(포물선의 매개변수라고도 한다).

그림에서 포물선 위의 점에서 직선까지의 거리와 초점까지의 거리가 정말 언제나 같다는 것도 확인하자. 예를 들어 꼭짓점 V에서 초점까지의 거리 $\overline{VF}$는 직선까지의 거리 $\overline{VD}$와 같다. 그림에 표시한 점 X도 마찬가지이다. 거리 $\overline{XF}$는 거리 $\overline{XE}$와 같다.

포물선은 이차함수의 그래프이다.

포물선의 방정식

포물선은 모두 네 가지 경우로 나눈다. 먼저 포물선의 축이 첫 번째 그림처럼 세로(즉 y축에 평행)인지 가로(즉 x축에 평행)인지에 따라 나눈다. 그다음 포물선이 위로 열려 있는지 아래로 열려 있는지, 오른쪽으로 열려 있는지 왼쪽으로 열려 있는지에 따라 나눈다. 포물선의 꼭짓점 V의 좌표가 (m, n)이라고 하자. 여기서 p는 초점과 준선 사이의 거리이다. (한국의 교과서에서는 꼭짓점과 초점 사이의 거리를 p로 놓아 x² = 4py 꼴로 쓴다.)

• 첫 번째 경우: 포물선의 축이 y축에 평행하고 위로 열려 있다. 이 포물선의 방정식은 다음과 같다. $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$ 초점의 좌표는 다음과 같다. $$F(m,n+\frac{p}{2})$$
• 두 번째 경우: 포물선의 축이 y축에 평행하고 아래로 열려 있다. 이 포물선의 방정식은 다음과 같다. $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$ 초점의 좌표는 다음과 같다. $$F(m,n-\frac{p}{2})$$
• 세 번째 경우: 포물선의 축이 x축에 평행하고 오른쪽으로 열려 있다. 이 포물선의 방정식은 다음과 같다. $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$ 초점의 좌표는 다음과 같다. $$F(m+\frac{p}{2},n)$$
• 네 번째 경우: 포물선의 축이 x축에 평행하고 왼쪽으로 열려 있다. 이 포물선의 방정식은 다음과 같다. $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$ 초점의 좌표는 다음과 같다. $$F(m-\frac{p}{2},n)$$