Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Nhà toán học cổ đại Euclid ở Alexandria đã đưa ra hai định lí về tam giác, cụ thể là về đường cao và cạnh góc vuông. Ở Séc chúng được gọi là các định lí Euclid, còn trong sách giáo khoa Việt Nam chúng thuộc các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu

Hệ thức này chỉ đúng trong tam giác vuông. Xét hình cơ bản:

Cho tam giác ABC có cạnh huyền là cạnh c, đoạn thẳng h_c là đường cao ứng với cạnh c. Chân đường cao H_c chia cạnh c thành hai đoạn thẳng: đoạn thẳng AH_c kí hiệu là c_b và đoạn thẳng BH_c kí hiệu là c_a. Đó là hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu nói rằng

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

trong đó h_c là độ dài đoạn thẳng h_c, v.v. Nói cách khác: nếu dựng một hình vuông có cạnh h_c và một hình chữ nhật có các cạnh c_a và c_b thì hai hình này có diện tích bằng nhau. Hãy xem hình sau, trên đó tô màu đúng hình vuông và hình chữ nhật như vậy:

Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu nói rằng hai hình này có diện tích bằng nhau. Hình vuông màu đỏ có cạnh h_c, hình chữ nhật màu xanh lá có một cạnh bằng c_a và cạnh kia bằng c_b.

Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu

Hệ thức thứ hai này cũng đúng trong tam giác vuông. Vẫn dùng hình tam giác đầu tiên:

Hệ thức thứ hai khẳng định rằng

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Nếu dựng hình vuông có cạnh a thì hình vuông này có diện tích bằng hình chữ nhật có các cạnh c và c_a. Có thể xem hình vuông và hình chữ nhật đó trên hình sau: