Đường thẳng

Đường thẳng là hình hình học đơn giản thứ hai sau điểm và có một chiều (có thể hình dung nó chỉ có chiều dài). Nói đơn giản, đường thẳng là một đường thẳng tắp dài vô hạn, không có điểm đầu cũng không có điểm cuối.

Tính chất cơ bản

Đường thẳng thường được kí hiệu bằng một chữ cái in thường, chẳng hạn a. Thường ta xác định đường thẳng bằng hai điểm, vì qua hai điểm phân biệt có đúng một đường thẳng. Ngoài ra còn có tia: tia giống đường thẳng, chỉ khác là có điểm gốc (nhưng vẫn không có điểm cuối). Chẳng hạn, các cạnh của góc là các tia.

Biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng, có thể biểu diễn đường thẳng bằng hàm số bậc nhất, vì đồ thị của hàm số này luôn là một đường thẳng. Tiếc là cách này không dùng được trong không gian, vì hàm số bậc nhất không xác định được chiều thứ ba. Tuy vậy, trong mặt phẳng, hàm số bậc nhất là cách đơn giản nhất để mô tả mọi đường thẳng không song song với trục tung. Khi đã cho hàm số thì vẽ đường thẳng rất dễ, nhưng làm ngược lại có thể khó hơn. Xét đường thẳng đã vẽ như sau:

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b. Trước hết ta tìm b, hệ số tự do. Cách đơn giản nhất là đọc trên hình điểm mà đường thẳng cắt trục tung, tức là điểm có hoành độ bằng 0. Ta thấy giao điểm ở độ cao 2, nên b = 2. Lí do là khi ax bằng 0, cách duy nhất để có y bằng 2 trong công thức y = ax + b là hệ số tự do bằng 2.

Bây giờ cần tìm a. Để dễ tính, tạm bỏ hệ số tự do, coi như nó bằng 0. Khi đó đường thẳng dịch chuyển đến gốc toạ độ và ta dễ xác định a hơn:

Ta thấy rõ tại x = 6 thì y có giá trị 2. Thay thông tin này vào công thức của hàm số: 6a + 0 = 2. Từ đó dễ tính được $a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Đã biết a, ta viết được công thức đầy đủ của hàm số, cũng chính là phương trình của đường thẳng:

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng trong mặt phẳng có thể có một số vị trí tương đối khác nhau.

Nếu hai đường thẳng nằm chồng lên nhau, hợp thành một, tức là có mọi điểm chung, thì chúng gọi là hai đường thẳng trùng nhau. Nếu hai đường thẳng có đúng một điểm chung, chúng gọi là hai đường thẳng cắt nhau. Nếu hai đường thẳng không có điểm chung nào, chúng gọi là hai đường thẳng song song. Hai đường thẳng song song thường được đánh dấu bằng hai vạch ngắn trên mỗi đường, xem hình cuối. Các hình sau đây tóm tắt ba trường hợp:

Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng được trình bày trong bài riêng ở phần hình học giải tích. Cũng ở phần đó có cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng, phương trình tham số của đường thẳng và phương trình đường thẳng theo hệ số góc.