Đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

Với mọi tam giác, ta đều vẽ được đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp đi qua cả ba đỉnh của tam giác, còn đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác. Đường tròn này luôn tồn tại và là duy nhất. Như vậy có thể nói rằng qua ba điểm không thẳng hàng có đúng một đường tròn.

Để vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác, cần biết khái niệm đường trung trực của cạnh. Đường trung trực của cạnh c là đường thẳng vuông góc với cạnh c tại trung điểm M_c của cạnh c. Cách tìm trung điểm của cạnh được trình bày trong bài về đường trung tuyến. Khi đã có trung điểm của cạnh, chỉ cần kẻ qua điểm này đường thẳng vuông góc với cạnh là được đường trung trực.

Tam giác có ba cạnh, nên có ba đường trung trực. Ba đường trung trực này cắt nhau tại một điểm, thường kí hiệu là O. Điểm này chính là tâm đường tròn ngoại tiếp. Ta làm như sau. Ban đầu có một tam giác và cần vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác này:

Trước hết vẽ ba đường trung trực của ba cạnh. Nghĩa là tìm trung điểm của ba cạnh rồi qua mỗi trung điểm kẻ đường vuông góc với cạnh đó.

Còn lại chỉ cần vẽ đường tròn. Đường tròn ngoại tiếp đi qua tất cả các đỉnh, nên bán kính của nó dễ tìm: đó là khoảng cách từ tâm O đến một đỉnh bất kì.

Đường tròn nội tiếp

Đường tròn gọi là nội tiếp tam giác nếu nó tiếp xúc với cả ba cạnh, tức là có đúng một điểm chung với mỗi cạnh. Để tìm tâm đường tròn nội tiếp, cần biết khái niệm tia phân giác của góc, được giải thích trong một bài riêng. Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác. Ban đầu có một tam giác bất kì. Ta vẽ các đường phân giác của các góc:

Giao điểm I là tâm đường tròn nội tiếp. Còn cần tìm bán kính. Từ điểm I kẻ đường vuông góc với một cạnh bất kì.

Độ dài đoạn thẳng IH_c bằng bán kính đường tròn nội tiếp. Bây giờ chỉ còn vẽ đường tròn: